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loujing

铁杆木虫 (正式写手)

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[求助] 关于用Maple或Mathematica实现符号多项式拟合已有1人参与

最近在看李航老师的统计学习方法，想用Maple或Mathematica验证一下第一章中的多项式拟合。

看起来结果都不太对。
这是我异想天开了（这问题用Maple和Mathematica是无法解决的），还是哪里写错了，万望大家指教，十分感谢。

Mathematica：

CODE:

f[Subscript[w, j]] = 1/2 \!\(\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)]\*SuperscriptBox[\((\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 0\), \(m\)]\*SubscriptBox[\(w\), \(j\)] \*SubsuperscriptBox[\(x\), \(i\), \(j\)] - \*SubscriptBox[\(y\), \(i\)])\), \(2\)]\)

Maple:

CODE:

L := proc (w__j) options operator, arrow; (1/2)*(sum((sum(w__j*x__i^j, j = 0 .. m)-y__i)^2, i = 1 .. n)) end proc

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1楼 2016-01-08 11:33:37

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xzczd

木虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
loujing: 金币+30, ★★★很有帮助 2016-01-08 18:15:58

引用回帖:

14楼: Originally posted by loujing at 2016-01-08 17:03:58
您好，感谢您的回复。w_j最终的闭解，是原书上给出的。所以我想利用软件验证一下。

我在网上搜了一下，李航老师在他新浪博客上给出了勘误表，http://blog.sina.com.cn/s/blog_7ad48fee01017dpi.html，如截图。
...

我觉得你对这段勘误的理解是不是有误……这种勘误格式应该是相当于把wj的表达式整个都从原书里去掉了。总之这里给出我推导出12楼结果的代码及解说。

这个问题总的来说还是很有意思的。楼主的计算之所以会失败大致有两个原因。其一是原推导中不动声色地对抽象求和使用了一些相对特殊的处理，Sum[...w[j], {j, 1, M}]里的w[j]的j其实是个局部变量，仅用于由1遍历至M，而“对w[j]求导”这一运算中的j是一个“可以取值为1到M的任意整数的变量”，也就是说Sum内外的w[j]的所指其实是不同的；其二，Sum在未计算为封闭形式时并不会将内部的常数项自动向外提取（并且似乎也没有哪个化简函数会进行这种操作），一个简单的例子是

CODE:

Sum[1/2 a[b], {b, c, e}]

其中1/2并不会自动计算到外面。这是可以接受的，毕竟这种计算并没有使表达式变得更简单，而对于更一般的情形而言，这种“不变换”甚至可以说是必要的，比如：

CODE:

Sum[ff a[b], {b, c, e}]

这里的ff在表面上虽然是一个常数项，但是考虑到它在后续编程中可能被赋为任何值（包括与b有关的值）所以冒然将它提出显然会引发很多麻烦——于是我们就不难理解Solve为什么会求解失败了：对楼主的问题而言，若要求解方程的话，将符号常量提取到Sum外面无疑是必须的。

好的，说了这么多，我们到底应该怎么在Mathematica中完成这个推导呢？前已述及，直接基于内置函数的推导之所以会失败，是因为这一推导中用到了一些相对特殊的规则，那么，我们自己把这些规则编写出来就可以了，Mathematica核心语言中的模式匹配就是干这个的：

CODE:

Clear[m, n]

f[i_, m_] := Sum[w[j]*x[i]^j, {j, 0, m}]

l = 1/2 Sum[(f[i, m] - y[i])^2, {i, n}];

(*以下规则对应前面提及的第一点*)

rule[w_] := Sum[expr_, {i_, downup__}] /; ! FreeQ[w, i] :> expr

(*以下三条规则对应第二点*)

ruleExpand = Sum[(a_ + b_) c_, i_] :> Sum[(a + b) c // Expand, i];

ruleDistribute = Sum[expr1_ + expr2_, i_] :> Sum[expr1, i] + Sum[expr2, i];

ruleExtract = Sum[a_ b_., {i_, downup__}] /; FreeQ[a, i] :> a Sum[b, {i, downup}];

(*把相应的变换规则代入：*)

D[l /. rule[w@j], w[j]] //. {ruleExpand, ruleDistribute, ruleExtract}

Solve[% == 0, w[j]]

上面这个算是比较中规中矩的编法，其实，还可以更疯狂一点的。（注意，以下内容仅为展示一种可能性，对解决楼主的问题并非必要。）因为在这里D和Sum的固有规则对我们的计算造成了麻烦，那我们何不自己写一套D和Sum呢：

CODE:

rule2[w_] := sum[expr_, {i_, downup__}] /; ! FreeQ[w, i] :> expr

(*d[a_ +b_,x_]:=d[a,x]+d[b,x]*)

d[a_ b_, x_] /; FreeQ[a, x] := a d[b, x]

d[a_^b_, x_] /; FreeQ[b, x] := b a^(b - 1) d[a, x]

d[sum[expr_, i_], x_] := If[FreeQ[i, x], sum[d[expr, x], i], d[expr, x]]

d[expr_, i_] := D[expr, i]

sum[(a_ + b_) c_, i_] := sum[(a + b) c // Expand, i]

sum[expr1_ + expr2_, i_] := sum[expr1, i] + sum[expr2, i]

sum[a_ b_., {i_, downup__}] /; FreeQ[a, i] := a sum[b, {i, downup}]

f2[i_, m_] := sum[w[j]*x[i]^j, {j, 0, m}]

l2 = 1/2 sum[(f2[i, m] - y[i])^2, {i, n}];

d[l2 /. rule2[w@j], w[j]]

Solve[% == 0, w[j]] /. sum -> Sum