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汕头大学海洋科学接受调剂

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FourierTf

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举例说明： $sup_{n \geq 1} \parallel f_{n} \parallel < \propto$ 和 $f_{n} \xrightarrow{ \mu }f$ 并不蕴含 $f_{n} \xrightarrow{ (\omega)L_{ \propto } }f$

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1楼 2016-01-05 15:39:26

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FourierTf

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5楼: Originally posted by jabile at 2016-01-07 06:31:21
n和1/n换一下就OK了
...

这样的话，他的上极限就趋于无穷了

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6楼2016-01-08 10:29:25

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hank612

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★ ★ ★
FourierTf(Edstrayer代发): 金币+3, Latex应助 2016-01-06 04:08:42

楼主可以考察:

$f_n(x)=\chi_{[0,\frac{1}{n}]}(x)$ , 即闭区间 $[0,\frac{1}{n}]$ 的示性函数.

$f_n$ 依测度趋于零, 但 $L_{\infty}$ 范数恒等于1.

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We_must_know. We_will_know.

2楼2016-01-06 03:43:40

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2楼: Originally posted by hank612 at 2016-01-06 03:43:40
楼主可以考察:

f_n(x)=\chi_{}(x), 即闭区间的示性函数.

f_n 依测度趋于零, 但L_{\infty}范数恒等于1.

谢谢,
$\forall g\in L_1$
$\lim_{n\to\infty}\int_R f_ngd\mu=\lim_{n\rightarrow\infty} \int_{[0,1/n]} g d\mu=0$
$\int_R fgd\mu=0$
上述两极限相等，则 $f_n$ 弱收敛到f。
我计算了一下的到了上面的结果，是哪里出问题了吗？

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3楼2016-01-06 14:30:06

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hank612

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3楼: Originally posted by FourierTf at 2016-01-06 14:30:06
谢谢,
\forall g\in L_1
\lim_{n\to\infty}\int_R f_ngd\mu=\lim_{n\rightarrow\infty} \int_{} g d\mu=0
\int_R fgd\mu=0
上述两极限相等，则f_n弱收敛到f。
我计算了一下的到了上面的结果，是哪里出问题了吗 ...

我上面那个例子是错误的, 当时没有理解 $(w)L_{\infty}$ 是什么意思.

我把例子捎做修改, 令 $f_n(x)=\frac{1}{n}\chi_{(0,n)}(x)$ , 就是函数值越来越小, 但非零区域越来越大,使得积分值恒等于1.

那么对有界函数 g(x)=1常数函数, f_n 依测度趋于零, 但不会弱 $L_{\infty}$ 收敛于零.

可是, 我无法找到例子, 使得, 对某个L_1函数 h(x), $\int|(f_n-f)*h|dx$ 不趋于零.

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We_must_know. We_will_know.

4楼2016-01-07 05:10:40

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