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_kdh

银虫 (正式写手)

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[求助] 任何矩阵酉等价与一个上三角矩阵？

怎么证明，用构造还是非构造法。

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1楼 2015-12-29 08:47:06

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junefi

铁杆木虫 (正式写手)

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_kdh: 金币+6, ★★★很有帮助 2016-01-01 08:12:44

这是Schur decomposition https://en.wikipedia.org/wiki/Schur_decomposition
有一个前提条件是这个矩阵的特征多项式在所讨论的Field中是split的。

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理论改变世界！

2楼2015-12-29 09:11:10

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getengqing

木虫 (正式写手)

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舒尔三角形式表明任何矩阵酉等价于一个上三角矩阵；
奇异值分解定理， A = UΣV 其中Σ为对角阵，而U,V为酉矩阵。A = UΣV 的对角线上的元素非负，而正的项称为A的奇异值。这对非正方形矩阵也成立；
若当标准型，其中A = UΛU1 其中Λ不是对角阵，但是分块对角阵，而U是酉矩阵。若当块的大小和个数由特征值的几何和代数重次决定。若当分解是一个基本的结果。从它可以立即得到一个正方形矩阵可以完全用它的特征值包括重次来表述，最多只会相差一个酉等价。这表示数学上特征值在矩阵的研究中有着极端重要的作用。
作为若当分解的直接结果，一个矩阵A可以“唯一”地写作A = S + N其中S可以对角化，N是幂零的（也即，对于某个q，Nq=0），而S和N可交换(SN=NS)。
任何可逆矩阵A可以唯一地写作A = SJ，其中S可对角化而J是么幂矩阵 (也即，使得特征多项式是(λ-1)的幂，而S和J可交换)。

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3楼2015-12-29 09:15:29

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