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求问正交矩阵的维数以及表示 已有1人参与
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弱弱的求助，一个n*n的正交矩阵的维数是n*（n-1）/2,那么怎么用n*（n-1）/2个变量表示一个n*n的矩阵呢？ 现在知道n=3的情况，用（3-1）*3/2=3个数来表示，如附件所示，求n=4和n=5的情况，工科小硕万分感谢，拜托拜托。  捕获.PNG |
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getengqing
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【答案】应助回帖
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如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵 这个矩阵中A与A'的积不是单位矩阵，显然不是正交矩阵。另外，可一眼看出A的行（或列）向量组都不是单位向量，所以A不是正交组阵。 1.方阵A正交的充要条件是A的行（列)向量组是单位正交向量组； 2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基； 3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量； 4.A的列向量组也是正交单位向量组。 5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵 |
3楼2015-12-27 18:11:54
hank612
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http://www.bio21.bas.bg/ibf/dpb_ ... /CD_IM_2012_AIP.pdf http://stanford.edu/~rezab/nips2 ... ted/coordescent.pdf http://www.wikiwand.com/en/Euler ... extrinsic_rotations https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix 截图从理论到实践都告诉我们如何将 SO(n)分解为n(n−1)/2 个Givens 矩阵的乘积，你自己搜搜关键词，看看对n=4,5 有没有实例操作。  Givens rotation compositon.png |
2楼2015-12-27 12:44:05
4楼2015-12-27 20:05:36
hank612
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http://www.cs.nthu.edu.tw/~cherung/teaching/2011anm/note07.pdf 这篇文章的第二，第三页非常清晰地给出了操作步骤。 基本上，一个n维单位向量由它与n个坐标轴的夹角唯一确定， 而作一次Givens rotation可以使向量旋转到（在指定的坐标轴上投影为零）。 所以当一个n维单位向量经过依次(n-1)个 Givens rotation， 垂直x2,...,xn 这(n-1)个坐标轴以后，自然等于(1,0,0...,0)。 经过这(n-1)个Givens矩阵作用后， O(n) 就转化成第一行为(1,000),(于是第一列也是(1,0000)),从第二行第二列开始是另一个O(n-1)矩阵。 然后如法炮制，用(n-2)， (n-3),..,1 个Givens rotation 化简到单位矩阵。 这就是为什么至多 n(n-1)/2 个Givens 矩阵就一定能表示一般的SO(n)了。 你会操作n=3的情况， 其它n=4,5什么的是一模一样的操作，楼主动动手就知道了。 http://www.cs.rpi.edu/~flaherje/pdf/lin13.pdf "Givens QR Factorization" 也可以供参考。 http://faculty.ucmerced.edu/mhya ... tures/lecture12.pdf 很经典的内容哦 |
5楼2015-12-28 05:48:32
