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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 这个一介导数的泰勒展开怎么来的
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张抛砖

银虫 (小有名气)

[求助] 这个一介导数的泰勒展开怎么来的 已有3人参与

自变量y在区间[0,1]上，因变量x对y的一阶导数展开如下：

这个一介导数的泰勒展开怎么来的
1.png
以上两式分别称为三点向前差分，三点向后差分，具体是怎么推出来的？请大神指教。
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菠萝菠萝蜜
1楼 2015-12-25 16:42:23
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遥控小丑

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这不是泰勒展开，是差值型求导公式

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中午12点起床吃早饭~
2楼2015-12-25 19:30:07
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遥控小丑

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

这是差值型求导公式，一种计算导数近似值的数值方法
设h=y2-y1=y1-y0
过y0 y1y2三点做二次多项式差值，有p(y)=(y-y1)(y-y2)X0/(2h^2)-(y-y0)(y-y2)X1/(h^2)+(y-y0)(y-y1)X2/(2h^2)
两边求导，有p'(y)=(2y-y1-y2)X0/(2h^2)-(2y-y0-y2)X1/(h^2)+(2y-y0-y1)X2/(2h^2)
分别将y=y0,y=y1,y=y2带入上式，可得图示公式

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中午12点起床吃早饭~
3楼2015-12-25 19:39:50
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
按照3#的办法没错!
不过要注意是'插值'不是'差值'!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
4楼2015-12-25 21:47:52
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遥控小丑

金虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by wurongjun at 2015-12-25 21:47:52
按照3#的办法没错!
不过要注意是'插值'不是'差值'!

哈哈手机打没注意~

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中午12点起床吃早饭~
5楼2015-12-26 00:23:21
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Edstrayer: 数学EPI+1 2016-01-02 00:27:23
张抛砖: 金币+5, 谢谢 2016-03-20 08:06:54
对于第一个式子，在[0,1]上的[0,2*h]上用抛物线方程去近似拟合函数X=X(y)，即可得到上面的结果，截断误差为步长的高阶无穷小。此处h=(1-0)/n=1/n，而n为[0,1]区间上的等分数量。y=0,X=X0;y=h,X=X1;y=2*h,X=X2。
令X=a*y^2+b*y+c ,其中a、b、c为待定系数。
由题设条件：
X0=a*0^2+b*0+c 由此得c=X0                                  (1)
X1=a*h^2+b*h+X0                                                 (2)
X2=a*(2*h)^2+b*(2*h)+X0                                     (3)
由(2)、(3)解得：
a=(X2-2*X1+X0)/(2*h^2) , b=(-X2+4*X1-3*X0)/(2*h)
dX/dy=2*a*y+b
当y=0时，dX/dy=b=(-X2+4*X1-3*X0)/(2*h)
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6楼2015-12-26 11:57:50
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