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北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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戴娜拉

铜虫 (初入文坛)

[交流] 求教一道拓扑中的证明题 已有2人参与

X,Y是拓扑空间,其中X是紧的Hausdorff空间,f是X到Y的映射,G是f的图像,则f连续的充分必要条件是G是紧集。
半天也没搞定,特来这儿求教

新编辑的:f的图像G={(x,y):y=f(x)},下面有人映射的像和映射的图像搞混了
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sskkyy

银虫 (正式写手)


小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
如果f是连续的,f(X)是紧的,因为X是紧的。所以图像是紧的。
反之,设xn--->x, (xn, f(xn)) 收敛于(x, y)\in G,  所以f(xn) --->y \in F(X), 故连续。
4楼2015-12-21 19:41:17
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maojun1998

银虫 (正式写手)


小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
从定义入手,定义1:紧集:紧集是拓扑空间内的一类特殊点集,它们的任何开覆盖都有有限子覆盖,定义2:连续:拓扑空间X到Y的一个映射,如果 对Y中的任一个开集的原像都是X中的开集,则这个映射为连续映射.充分性:任意去一个开集x属于X,因为他是X紧性,因此存在一个开覆盖m是得x属于m,有根据连续的定义,可以推出f(x)=g属于y也存在开覆盖,那么可以证明G也是紧的;必要性不会证,请找其他人吧,下楼会有人的,只能帮到这里了!
wirmüssenwissen.wirwerdeneswissen.
2楼2015-12-20 23:45:57
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maojun1998

银虫 (正式写手)


小木虫: 金币+0.5, 给个红包,谢谢回帖
不知道这算不算一个必要性反例;X(0,1)Y(0,1)XY均为紧的你可以画一个并不连续的图像,保证G紧但f并不连续,可以断开,画画图图试试,我是新手,希望不要误人子弟!能力有限,只能帮到这里了
wirmüssenwissen.wirwerdeneswissen.
3楼2015-12-20 23:59:40
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戴娜拉

铜虫 (初入文坛)

引用回帖:
4楼: Originally posted by sskkyy at 2015-12-21 19:41:17
如果f是连续的,f(X)是紧的,因为X是紧的。所以图像是紧的。
反之,设xn--->x, (xn, f(xn)) 收敛于(x, y)\in G,  所以f(xn) --->y \in F(X), 故连续。

没看明白,怎么从G紧证明f连续,Hausdorff空间这个条件有什么用呢
5楼2015-12-21 19:53:40
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