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戴娜拉

铜虫 (初入文坛)

[交流] 求教一道拓扑中的证明题 已有2人参与

X,Y是拓扑空间，其中X是紧的Hausdorff空间，f是X到Y的映射，G是f的图像，则f连续的充分必要条件是G是紧集。
半天也没搞定，特来这儿求教

新编辑的：f的图像G={(x,y):y=f(x)}，下面有人映射的像和映射的图像搞混了
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1楼 2015-12-20 22:07:00
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maojun1998

银虫 (正式写手)
★
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从定义入手，定义1：紧集：紧集是拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖，定义2：连续：拓扑空间X到Y的一个映射,如果 对Y中的任一个开集的原像都是X中的开集,则这个映射为连续映射.充分性：任意去一个开集x属于X，因为他是X紧性，因此存在一个开覆盖m是得x属于m，有根据连续的定义，可以推出f(x)=g属于y也存在开覆盖，那么可以证明G也是紧的；必要性不会证，请找其他人吧，下楼会有人的，只能帮到这里了！
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wirmüssenwissen.wirwerdeneswissen.
2楼2015-12-20 23:45:57
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maojun1998

银虫 (正式写手)
★
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不知道这算不算一个必要性反例；X（0,1）Y(0,1)XY均为紧的你可以画一个并不连续的图像，保证G紧但f并不连续，可以断开，画画图图试试，我是新手，希望不要误人子弟！能力有限，只能帮到这里了
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wirmüssenwissen.wirwerdeneswissen.
3楼2015-12-20 23:59:40
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sskkyy

银虫 (正式写手)
★
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如果f是连续的，f(X)是紧的，因为X是紧的。所以图像是紧的。
反之，设xn--->x, (xn, f(xn)) 收敛于(x, y)\in G,  所以f(xn) --->y \in F(X), 故连续。
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4楼2015-12-21 19:41:17
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戴娜拉

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by sskkyy at 2015-12-21 19:41:17
如果f是连续的，f(X)是紧的，因为X是紧的。所以图像是紧的。
反之，设xn--->x, (xn, f(xn)) 收敛于(x, y)\in G,  所以f(xn) --->y \in F(X), 故连续。

没看明白，怎么从G紧证明f连续，Hausdorff空间这个条件有什么用呢
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5楼2015-12-21 19:53:40
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sskkyy

银虫 (正式写手)
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5楼: Originally posted by 戴娜拉 at 2015-12-21 19:53:40
没看明白，怎么从G紧证明f连续，Hausdorff空间这个条件有什么用呢...

这里用到了序列收敛来描述连续以及紧致，而不是一般的开集。你要不要研究一下为何这与一般开集定义的连续以及紧致是等价的？需不需要T2？
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6楼2015-12-21 21:20:33
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戴娜拉

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by sskkyy at 2015-12-21 21:20:33
这里用到了序列收敛来描述连续以及紧致，而不是一般的开集。你要不要研究一下为何这与一般开集定义的连续以及紧致是等价的？需不需要T2？...

如果用序列收敛来证的话，那肯定要定义了度量，但题目说的是拓扑空间，并没有定义度量啊
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7楼2015-12-23 21:17:18
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sskkyy

银虫 (正式写手)
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引用回帖:
7楼: Originally posted by 戴娜拉 at 2015-12-23 21:17:18
如果用序列收敛来证的话，那肯定要定义了度量，但题目说的是拓扑空间，并没有定义度量啊...

序列收敛不一定要有度量的，xn收敛于x, 定义为x的任意开集包含几乎所有的xn. 当空间是T2时，点收敛与通常收敛等价，见 https://en.m.wikipedia.org/wiki/ ... _topological_spaces

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8楼2015-12-23 23:13:44
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