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_kdh

银虫 (正式写手)

[求助] A,B保证定,且A-B保证定,证明B^-1 - A^-1保证定。

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wshaoxin

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
B^-1-A^-1=A^-1(A-B)B^-1,但是我不能验证右边是对称矩阵……
Godhelpsthosewhohelpthemselves!
2楼2015-12-19 20:00:51
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Camon

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
_kdh: 金币+8, ★★★很有帮助 2015-12-21 12:53:08
存在可逆矩阵P,使得P'BP=I,则P'AP=P'(A-B)P+P'BP=I+P'BP,所以P'AP的特征值全大于1,那么P^(-1)A^(-1)(P')^(-1)的特征值全小于1,所以P^(-1)(B^(-1)-A^(-1))(P')=I-P^(-1)A^(-1)(P')^(-1)的特征值全大于0,从而B^(-1)-A^(-1)正定

发自小木虫IOS客户端
3楼2015-12-19 22:49:44
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_kdh

银虫 (正式写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by wshaoxin at 2015-12-19 20:00:51
B^-1-A^-1=A^-1(A-B)B^-1,但是我不能验证右边是对称矩阵……

我好像证过,然而忘记了。右边等于左边,左边对称不就是了么

发自小木虫Android客户端
4楼2015-12-20 19:23:25
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wshaoxin

铁杆木虫 (正式写手)

引用回帖:
4楼: Originally posted by _kdh at 2015-12-20 19:23:25
我好像证过,然而忘记了。右边等于左边,左边对称不就是了么
...

我觉得Camon的证明就很好。我的总觉得不是很合理。
Godhelpsthosewhohelpthemselves!
5楼2015-12-20 22:01:15
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_kdh

银虫 (正式写手)

引用回帖:
3楼: Originally posted by Camon at 2015-12-19 22:49:44
存在可逆矩阵P,使得P'BP=I,则P'AP=P'(A-B)P+P'BP=I+P'BP,所以P'AP的特征值全大于1,那么P^(-1)A^(-1)(P')^(-1)的特征值全小于1,所以P^(-1)(B^(-1)-A^(-1))(P')=I-P^(-1)A^(-1)(P')^( ...

P'AP=P'(A-B)P+P'BP=I+P'(A - B)P 吧。
证明是正确的。
6楼2015-12-21 12:54:16
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