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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » A,B保证定，且A-B保证定，证明B^-1 - A^-1保证定。
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_kdh

银虫 (正式写手)

[求助] A,B保证定，且A-B保证定，证明B^-1 - A^-1保证定。

RT

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1楼2015-12-19 15:44:56
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wshaoxin

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
B^-1-A^-1=A^-1(A-B)B^-1,但是我不能验证右边是对称矩阵……
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Godhelpsthosewhohelpthemselves!
2楼2015-12-19 20:00:51
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Camon

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
_kdh: 金币+8, ★★★很有帮助 2015-12-21 12:53:08
存在可逆矩阵P，使得P'BP=I，则P'AP=P'（A-B）P+P'BP=I+P'BP，所以P'AP的特征值全大于1，那么P^（-1）A^（-1）（P'）^（-1）的特征值全小于1，所以P^（-1）（B^（-1）-A^（-1））（P'）=I-P^（-1）A^（-1）（P'）^（-1）的特征值全大于0，从而B^（-1）-A^（-1）正定

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3楼2015-12-19 22:49:44
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by wshaoxin at 2015-12-19 20:00:51
B^-1-A^-1=A^-1(A-B)B^-1,但是我不能验证右边是对称矩阵……

我好像证过，然而忘记了。右边等于左边，左边对称不就是了么

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4楼2015-12-20 19:23:25
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wshaoxin

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by _kdh at 2015-12-20 19:23:25
我好像证过，然而忘记了。右边等于左边，左边对称不就是了么
...

我觉得Camon的证明就很好。我的总觉得不是很合理。
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Godhelpsthosewhohelpthemselves!
5楼2015-12-20 22:01:15
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Camon at 2015-12-19 22:49:44
存在可逆矩阵P，使得P'BP=I，则P'AP=P'（A-B）P+P'BP=I+P'BP，所以P'AP的特征值全大于1，那么P^（-1）A^（-1）（P'）^（-1）的特征值全小于1，所以P^（-1）（B^（-1）-A^（-1））（P'）=I-P^（-1）A^（-1）（P'）^（ ...

P'AP=P'（A-B）P+P'BP=I+P'(A - B)P 吧。
证明是正确的。
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6楼2015-12-21 12:54:16
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