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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 紧空间的任一无限子集至少有一个极限点，证明中的一个问题，求解答？
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_kdh

银虫 (正式写手)

[求助] 紧空间的任一无限子集至少有一个极限点，证明中的一个问题，求解答？

对于度量空间或满足第一可数公理的都容易证。书上对任意拓扑的证明如下。

设X是紧空间T的一个没有极限点的无限子集，那么存在X1 = {x_n }是 X的可数子集,也没有极限点。但X_n = (x_n,x_{n+1},...)是T中闭集有心族有空的交，故T非紧。

里面，为何X_n是闭集？ 任意拓扑的聚点不一定是极限点，不能推出X_n为闭集吧？

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1楼 2015-12-07 08:44:58
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_kdh

银虫 (正式写手)
没有人么

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2楼2015-12-07 10:22:00
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junefi

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
没有极限点意味着什么？意味着这个集合很“空”，T的每个点“附近”都没有X的点，换言之X的每个点都是孤立点。
NOTE: 极限点不一定在X中。
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理论改变世界！
3楼2015-12-07 11:49:48
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
X_n是闭集是因为，假设了它没有极限点，也就是满足”任意子列，如果收敛，必须是收敛到它本身“的条件。
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4楼2015-12-07 12:15:49
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by junefi at 2015-12-07 11:49:48
没有极限点意味着什么？意味着这个集合很“空”，T的每个点“附近”都没有X的点，换言之X的每个点都是孤立点。
NOTE: 极限点不一定在X中。

一点都没有说服力

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5楼2015-12-07 13:52:08
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by sskkyy at 2015-12-07 12:15:49
X_n是闭集是因为，假设了它没有极限点，也就是满足”任意子列，如果收敛，必须是收敛到它本身“的条件。

在任意拓扑中，聚点不一定是极限点

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6楼2015-12-07 13:52:33
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by junefi at 2015-12-07 11:49:48
没有极限点意味着什么？意味着这个集合很“空”，T的每个点“附近”都没有X的点，换言之X的每个点都是孤立点。
NOTE: 极限点不一定在X中。

另外可以有不是极限点的聚点，显然不是孤立点。注意不是度量空间

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7楼2015-12-07 13:54:58
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_kdh

银虫 (正式写手)
。。。。。。。

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8楼2015-12-08 21:01:49
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_kdh

银虫 (正式写手)
是我搞错了，极限点的定义就是聚点。。。

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9楼2015-12-08 22:21:06
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_kdh

银虫 (正式写手)
不过上面两个的回复都是不对的

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10楼2015-12-08 22:21:41
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