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这个豪斯多夫空间不一定满足第三分离公理的例子怎么理解？ 已有1人参与
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柯尔莫戈洛夫函数论与泛函分析初步2章5节 第三分离公理T3：任意一点与不包含该点的闭集有不相交的邻域（就是说一个点和一个不包含这个点的闭集，各有一个包含它们邻域，它们不相交）。 开集为属于拓扑的集合，闭集为全空间对开集的余集。 书上原话 例子： 在[0,1]中除点0以外的一切点，都用通常的方法来定理它的邻域，而把从其中去掉形如1/n(n = 1,2...)这样所有可能的半开区间[0,\alpha]作为0的邻域.这是一个豪斯多夫空间，但其中点0余不包含它的闭集{1/n} 不是用彼此不相交的邻域来分离你的，即公理T3不成立. 这里{1/n}为什是不包含0的闭集。 首先，可以证明 M是闭集 等价于 M的闭包等于 M。 0的任意邻域与{1/n}相交，所以0包含在它们的闭包中，所以0 属于 { 1/n } 否则,{1/n}不是闭集. 另外 把从其中去掉形如1/n(n = 1,2...)这样所有可能的半开区间[0,\alpha]作为0的邻域 这句话什么意思？ |
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首先，T2空间不一定是T3空间。对于给出的例子，应该是这样理解： ”这里{1/n}为什是不包含0的闭集“ 首先{1/n: n=1,2,...} 是闭集，因为0不在这个集合的闭包里面，因为0的任何领域都是[0,a)\{1/n: n=1,2,...}, 也就是通常的半开区间，挖掉1/n的点， 这样的邻域不包含1/n. 这时候你就发现，找不出来彼此不相交的邻域来分离{0}, 与{1/n: n=1,2,...}. 注意：这和通常的拓扑比起来，最大的地方就是0的邻域的定义。 |
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