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戴娜拉

铜虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
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在线: 7.5小时
虫号: 2843975
注册: 2013-12-03
专业: 函数论

[交流] 求教一道证明题已有2人参与

已知第一个等式

求证第二个，其中0<a<1

我代数进去验证过了，是对的

CodeCogsEqn(1).gif

CodeCogsEqn.gif

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1楼2015-11-19 23:47:43

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
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注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+5, Latex应助 2015-11-20 08:11:25

Edstrayer给出了最困难的第一步的证明, 第二步基本上可以用"显然" 来说明.

由于 $\frac{1}{\sin{z}}=\cot{\frac{z}{2}}-\cot{z}$ ,
代入第一式, 就得到
$\frac{1}{\sin{z}}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{z+2n\pi}+\frac{2}{z-2n\pi}-\frac{1}{z+n\pi}-\frac{1}{z-n\pi}\right)$

你仔细看看, 就得到 $\frac{1}{\sin{z}}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(\frac{1}{z+n\pi}+\frac{1}{z-n\pi})$ . 你的第二式无非就是让 $z=\pi a$ 而已.