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金虫 (初入文坛)

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[求助] 概率求解已有2人参与

一个盒子里有标号1——r的r个球。先取n个，记录标号后放回，再取m个，记录标号。求两次取球恰有k个标号相同的概率

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1楼2015-11-19 08:34:17

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0404600213

金虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

引用回帖:

5楼: Originally posted by 0404600213 at 2015-11-19 10:30:35
设P(k)表示刚好k个相同的概率，F(k)表示至少k个相同的概率
则
http://latex.codecogs.com/gif.latex?F(k)=\frac{\binom{r-k}{n-k}*\binom{r-k}{m-k}}{\binom{r}{n}*\binom{r}{m}}
http://latex.codecogs.com/gif ...

正确的解答是
首先如果刚好有k个相同
则由于m+n-k<r，k的取值范围是
$min\{m+n-k,0\}\leq k\leq min\{m,n\}$
然后刚考取到k个可以看成是
1、从r中取出k个作为第一次和第二次的公共部分
2、从剩下的r-k个中取出n-k个作为第一次不和第二次重复的部分
3、从剩下的r-n个中取出m-k个作为第二次不和第一次重复的部分
这三步

所以概率是
$P(k)=\frac{\binom{r}{k}\binom{r-k}{n-k}\binom{r-n}{m-k}}{\binom{r}{m}\binom{r}{n}}$