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ty5198996

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[交流] 一个复数的问题已有2人参与

$g(p)=\prod_{n=1}^{p-1}f(e^{\frac{2\pi i \times n}{p}})$

是否：当f为实解析函数，p为素数时，g(p)为实数值

当p=2时可知一定可行
当p=3时，f(a)=1-a,或f(a)=1-a-a^2,或f(a)=lna,等的验证都无误。是否会有反例？

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1楼 2015-11-08 17:14:57

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ty5198996

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2楼2015-11-08 19:01:05

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hank612

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"当f为实解析函数" 是如何定义的？是不是 $\bar{f(z)}=f(\bar{z})$ ?或者等价地，Taylor级数展开式的每一个系数都是实数，譬如 Sin(z), Log(1+z), e^z, 实系数多项式，等等。

如果是的话，由于那些点关于实数轴对称，每一对共轭的复数使得 $f(z)f(\bar{z})$ 属于实数，所以g为实数值。另外，并没有要求 p 是素数。

如果实解析另有定义，就当我没说。。。

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3楼2015-11-09 11:07:22

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laosam280

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4楼2015-11-09 17:11:26

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3楼: Originally posted by hank612 at 2015-11-09 11:07:22
"当f为实解析函数" 是如何定义的？是不是 \bar{f(z)}=f(\bar{z})?或者等价地，Taylor级数展开式的每一个系数都是实数，譬如 Sin(z), Log(1+z), e^z, 实系数多项式，等等。

如果是的话，由于那些点 ...

是啊

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5楼2015-11-10 10:33:57

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4楼: Originally posted by laosam280 at 2015-11-09 17:11:26
总觉得只要p是有理数都是可以的。那个函数里面的东西不是单位根吗？

p=2 可行，p是其他偶数就不行了，函数里面的是a^p-1=0,除开a=1的所有根

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6楼2015-11-10 10:37:29

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hank612

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6楼: Originally posted by ty5198996 at 2015-11-10 10:37:29
p=2 可行，p是其他偶数就不行了，函数里面的是a^p-1=0,除开a=1的所有根...

楼主能否把你的例子写一下呢？比如 p=4,或 p=6, 哪个实解析函数使得乘积函数不是实数值呢？

辛苦了

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7楼2015-11-10 12:56:44

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7楼: Originally posted by hank612 at 2015-11-10 12:56:44
楼主能否把你的例子写一下呢？比如 p=4,或 p=6, 哪个实解析函数使得乘积函数不是实数值呢？

辛苦了

...

例如，p=4,f(a)=lna,
由 $g(p)=\prod_{n=1}^{p-1}f(e^{\frac{2\pi i \times n}{p}})$

得： $g(4)=\prod_{n=1}^{4-1}ln(e^{\frac{2\pi i \times n}{4}})=<br /> <br /> <br /> lne^{\frac{2\pi i }{4}}\times lne^{\frac{2\pi i \times 2 }{4}} \times lne^{\frac{2\pi i \times 3 }{4}}=\frac{2\pi i }{4} \times \frac{2\pi i \times 2 }{4} \times \frac{2\pi i \times 3 }{4}=\frac{-48\pi i }{64}$ 为复数

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8楼2015-11-11 20:09:21

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8楼: Originally posted by ty5198996 at 2015-11-11 20:09:21
例如，p=4,f(a)=lna,
由g(p)=\prod_{n=1}^{p-1}f(e^{\frac{2\pi i \times n}{p}})

得：g(4)=\prod_{n=1}^{4-1}ln(e^{\frac{2\pi i \times n}{4}})=

lne^{\frac{2\pi i }{4}}\times lne^{\frac{2\p ...

Log(z) 将负实数映到复数，算是实解析函数么？

发自小木虫IOS客户端

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9楼2015-11-11 23:01:32

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9楼: Originally posted by hank612 at 2015-11-11 23:01:32
Log(z) 将负实数映到复数，算是实解析函数么？
...

这是个问题

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10楼2015-11-12 16:24:18

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