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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 有关定积分的定义的问题
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Veren Elen

新虫 (初入文坛)

[交流] 有关定积分的定义的问题已有7人参与

定积分定义里ξi是任取的，而根据可积的充要条件，有界且有有限个间断点的函数可积。如果ξi正好取在间断点怎么办？

有关定积分的定义的问题
360截图-1018344531.jpg


有关定积分的定义的问题-1
360截图-1018373687.jpg
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1楼2015-11-07 16:51:53
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mador

新虫 (初入文坛)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
间断点组成的集合测度为0.
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4楼2015-11-07 19:24:14
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0404600213

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
因为是有限个间断点（其实貌似只要求间断点组成的集合的测度为0就可以）

所以当delta x足够小的时候可以保证所有间断点所在的所有小矩形的面积的和足够小
也就是当delta x趋向于0时，所有间断点所在的所有小矩形的面积的和趋向于0
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2楼2015-11-07 16:59:04
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0404600213

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
实际上间断点有限这个条件过于严格了
准确的表述应该是所有间断点组成的集合测度为0
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3楼2015-11-07 17:15:23
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mygt_hit

专家顾问 (职业作家)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
间断点组成的集合测度为0时，黎曼积分不一定存在，典型例子就是dirichlet函数。

回答楼主问题：ξi正好取在间断点没有关系，因为自变量划分区间是趋于0的，有限值×无穷小还是趋于0的，不影响定积分。
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知其然，知其所以然。
5楼2015-11-07 20:09:46
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