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1楼 2015-11-03 21:24:23

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mygt_hit

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

前面的回答都很清楚了，我来抛个砖。
方程可以化为Ax=b。解（如果有解的话）的一般形式为x = x0 + xp，即全解=通解+特解。Ax可看作A列向量之线性组合，也就是A的列向量张成了R^3中的一个子空间C(A)，b是R^3中一个列向量。Ax0 = 0，全体x0张成的子空间为A的零空间，记作N(A)，也是R^3中子空间。
如果b不属于C(A)，自然不能用C(A)的基向量线性表示，Ax = b无解。也就是说b是R^3中不属于C(A)的独立的另一维，由于b的存在，增广矩阵[A b]的秩在A的基础上增加1. 这也可以解释5楼给出的方法。
如果b在C(A)内，这时b可以由C(A)的基向量线性表示，Ax=b有解。b与A的列向量线性相关，b的存在不会使得增广矩阵[A b]升秩（和A的秩相比），即[A b]与A秩相等。
有解前提下，再来讨论唯一解和无穷解。这时要用到x = x0 + xp，唯一解意味着x0只有零解，而无穷解意味着x0有无穷个，用空间来说，对应于N(A)维数为0和N(A)维数大于等于1. N(A) 和C(A)互为R^3中正交补，所以判断C(A)的维数，等价地判断A的秩就可以。具体说，唯一解要求rank(A) = 3, 无穷解要求rank(A) <=2，别忘了前提是rank(A) = rank([A b])，即b不会使[A b]升秩。

希望能对你有所帮助。