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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 线性代数 齐次线性方程组的解
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cly2810

金虫 (正式写手)

[求助] 线性代数 齐次线性方程组的解 已有3人参与

该怎么做啊

线性代数  齐次线性方程组的解
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1楼 2015-10-19 19:27:02
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

mygt_hit

专家顾问 (职业作家)
引用回帖:
8楼: Originally posted by dfdx at 2015-10-21 00:31:57
谁说行数小于列数就有解！
例x+y+z=1，x+y+z=0有解吗？
Ax=0有非零解的充要条件就是A的列向量线性相关！
Ax=b有解的充要条件就是b属于A的列向量形成的空间中，唯一解就是~

要知道线性代数的几何语音，不要天 ...

对于齐次线性方程组，（独立或线性无关）行数小于列数时，一定有非零解，因为这时列向量一定线性相关。
所以齐次线性方程组有非零解的充要条件是独立行数<列数。
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知其然，知其所以然。
12楼2015-10-21 12:25:31
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普通回帖

wshaoxin

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
A, 秩小于自变量的个数则有非零解。
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Godhelpsthosewhohelpthemselves!
2楼2015-10-19 19:43:47
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mygt_hit

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
cly2810: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 8 2015-10-20 08:38:52
1. 简单考虑，线性独立方程个数小于变量个数就有非零解。
2. 矩阵A化为行最简形，要求列数多余行数，存在自由变量。
3. 按照矩阵A的4个子空间关系来考虑：有非零解说明A的零空间N(A)至少有一个独立基，故dim[N(A)] >=1; 而A的行空间C(A^T)与N(A)为R^n中的正交补空间，故dim[C(A^T)] + dim[N(A)] = n, rank(A) = dim[C(A^T)] = n -  dim[N(A)] <= n-1 < n.
以上都可以得出 r < n。
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知其然，知其所以然。
3楼2015-10-19 20:04:32
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
你要好好看书!
这个是基本定理!
齐次线性方程组有非零解的充要条件是r<n
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
4楼2015-10-19 20:36:23
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cly2810

金虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by mygt_hit at 2015-10-19 20:04:32
1. 简单考虑，线性独立方程个数小于变量个数就有非零解。
2. 矩阵A化为行最简形，要求列数多余行数，存在自由变量。
3. 按照矩阵A的4个子空间关系来考虑：有非零解说明A的零空间N(A)至少有一个独立基，故dim > ...

我考虑的是首先 r<min（m,n)
                然后齐次线性方程组有非零解要求行数小于列数，即m<n
                综上有r<m

不知道哪里逻辑错了
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5楼2015-10-20 08:37:12
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mygt_hit

专家顾问 (职业作家)
引用回帖:
5楼: Originally posted by cly2810 at 2015-10-20 08:37:12
我考虑的是首先 r<min（m,n)
                然后齐次线性方程组有非零解要求行数小于列数，即m<n
                综上有r<m

不知道哪里逻辑错了...

少了等号情况（行满秩），即 r<=min（m,n)，其他都是对的。
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知其然，知其所以然。
6楼2015-10-20 12:18:31
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cly2810

金虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by mygt_hit at 2015-10-20 12:18:31
少了等号情况（行满秩），即 r<=min（m,n)，其他都是对的。...

我考虑的是首先 r<=min（m,n)
                然后齐次线性方程组有非零解要求行数小于列数，即m<n
                综上有r<m
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7楼2015-10-20 14:30:04
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dfdx

金虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by cly2810 at 2015-10-20 14:30:04
我考虑的是首先 r<=min（m,n)
                然后齐次线性方程组有非零解要求行数小于列数，即m<n
                综上有r<m...

谁说行数小于列数就有解！
例x+y+z=1，x+y+z=0有解吗？
Ax=0有非零解的充要条件就是A的列向量线性相关！
Ax=b有解的充要条件就是b属于A的列向量形成的空间中，唯一解就是~

要知道线性代数的几何语音，不要天天秩，秩r就是若干n维向量形成的子空间的维度为r，~！

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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？
8楼2015-10-21 00:31:57
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dfdx

金虫 (著名写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by dfdx at 2015-10-21 00:31:57
谁说行数小于列数就有解！
例x+y+z=1，x+y+z=0有解吗？
Ax=0有非零解的充要条件就是A的列向量线性相关！
Ax=b有解的充要条件就是b属于A的列向量形成的空间中，唯一解就是~

要知道线性代数的几何语音，不要天 ...

错了x+y=0，x+y=0，x+y=0，~想要多少行有多少行。有非零解吧

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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？
9楼2015-10-21 00:36:54
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cly2810

金虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by dfdx at 2015-10-21 00:36:54
错了x+y=0，x+y=0，x+y=0，~想要多少行有多少行。有非零解吧
...

改成
齐次线性方程组  非零行行数小于列数，有非零解 对么？
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10楼2015-10-21 09:28:28
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