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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 这个数列怎么用单调有界准则求极限？
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tengfly

铁杆木虫 (著名写手)

[求助] 这个数列怎么用单调有界准则求极限？ 已有3人参与

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这个数列怎么用单调有界准则求极限？


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1楼 2015-10-16 10:56:10
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liuqh

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
先证单调，再证有界，最后求极限
1.单调的证明，对x(n+1)-xn>0运用数学归纳法
2.有界的证明，对xn<a运用数学归纳法
3.求极限，设极限为x,则x=1/2*a+1/2*x^2,求解舍去不合理的解得x=1-sqrt(1-a)
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2楼2015-10-16 11:28:45
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
tengfly: 金币+4, ★有帮助, 谢谢 2015-10-16 12:32:39
用归纳法证明单调有界，用方程求极限：

思路：假设极限存在，设为x,那么有x  = a/2 + x^2/2
得到极限为x = 1+sqrt(1-a) 【舍负值】
证明：
（1）单调性：
n=1时,x2 -x1 = a/2 + x1^2/2 -  x1 >0
假设n=k时 x(k)-x(k-1)>0,那么
n=k+1时 x(k+1)-x(k)= a/2 + x(k)^2/2   - [a/2 + x(k-1)^2/2] =1/2*(x(k)^2 - x(k-2)^2) >0
（2）有界
n=1时,x1  = a/2 < 1+sqrt(1-a)
假设n=k时 x(k)<1+sqrt(1-a),那么
n=k+1时 x(k+1)= a/2+ x(k)^2/2<a/2+1/2*(1+1-a+2*sqrt(1-a))=1+sqrt(1-a)
（3）有(1和2)知道x{n}单调有界，因此极限存在，剩下同原始思路
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板凳要做十年冷文章不发一个字
3楼2015-10-16 11:38:12
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by bluesine at 2015-10-16 11:38:12
用归纳法证明单调有界，用方程求极限：

思路：假设极限存在，设为x,那么有x  = a/2 + x^2/2
得到极限为x = 1+sqrt(1-a) 【舍负值】
证明：
（1）单调性：
n=1时,x2 -x1 = a/2 + x1^2/2 -  x1 >0
假设n= ...

写错了，x = 1-sqrt(1-a)
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板凳要做十年冷文章不发一个字
4楼2015-10-16 11:39:01
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数学老学徒

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
tengfly: 金币+6, ★★★★★最佳答案 2015-10-16 12:33:11
这
这个数列怎么用单调有界准则求极限？-1



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未来属于开拓者
5楼2015-10-16 12:01:33
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shabaolin

铜虫 (著名写手)
先证明存在

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6楼2015-10-16 12:05:39
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
若有极限，设为p,则当n趋于无穷时，Xn和Xn+1的极限均为p。如此以来，将两边求极限得到：p=a/2+p^2/2
p^2-2*p+a=0
p=1±sqrt(1-a)
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7楼2015-10-17 08:45:11
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liuruh

新虫 (著名写手)
:victory::victory::victory::victory::victory::victory::D:D:D:D:D:D:o:o:o:o:o:o:o:o:o:o:o:o:o:like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like::like:
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快乐生活，认真工作。
8楼2015-10-18 08:40:06
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