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戴娜拉

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[交流] 请教数学分析中的sinx的因式分解怎么证明已有4人参与

用级数的内容证明

可以证明 $\sin x = \mathop U\nolimits_k^{(n)} \cdot \mathop V\nolimits_k^{(n)}$ ，其中 $U_{k}^{(n)}=(2n+1)sin(x/(2n+1))\prod_{j=1}^{k}(1-\frac{sin^{2}\frac{x}{2n+1}}{sin^{2}\frac{j\pi }{2n+1}})$ , $V_{k}^{(n)}=\prod_{j=k+1}^{n}(1-\frac{sin^{2}\frac{x}{2n+1}}{sin^{2}\frac{j\pi }{2n+1}})$
还可以证明出 $\lim_{n \to \infty }U_{k}^{(n)}=x\prod_{j=1}^{k}(1-\frac{x^{2}}{j^{2}\pi ^{2}})$ ，且当k趋于无穷时，V趋于1。再往后我就不会了，书上说证明U有界，然后就能证明该公式了，这两个又该怎么证明呢。
第二个问题，如果我知道了sinx的分解式，那么 $cos x=\prod_{n=1}^{\infty }(1-\frac{4x^{2}}{(2n-1)^{2}\pi ^{2}})$ 又怎么证明呢

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1楼 2015-10-14 18:36:49

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戴娜拉

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5楼: Originally posted by uvwxmc at 2015-10-16 15:22:58
这不叫‘因式分解’，这叫无穷乘积展开。自行学习无穷乘积展开内容。
当等式两边同时取对数，无穷乘积展开就成了普通的级数。

多谢了。书上写的就是因式分解，我还百度半天，无穷乘积展开就百度到了，最起码找到方向了

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6楼2015-10-18 20:57:50

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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可以请教一下怎么证明 sin(x)=U_k*V_k 么?

剩下的你的问题反而是显然的. 因为 V-->1, 所以 U= sin[x]/V 有界.

cos(x)= sin(2x)/(2 sin(x)) 直接得到你要的.

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We_must_know. We_will_know.

3楼2015-10-15 02:44:00

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戴娜拉

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引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2015-10-15 02:44:00
可以请教一下怎么证明 sin(x)=U_k*V_k 么?

剩下的你的问题反而是显然的. 因为 V-->1, 所以 U= sin/V 有界.

cos(x)= sin(2x)/(2 sin(x)) 直接得到你要的.

sin(2n+1)x=sinx*P(sinx*sinx),其中P(u)是n次多项式，常数项是2n+1。当sin(2n+1)x=0时，有n个根，j*PI/（2n+1），j=1，...，n 。这时sinx不等于0，所以P(sinx*sinx)=0，所以sin （j*PI/（2n+1））的平方是P(u)的根。然后令（2n+1）*x=y，siny=U_k*V_k 了

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4楼2015-10-15 18:17:28

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