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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求给定两点上任意阶导数都是0的光滑函数
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tigou

木虫 (正式写手)

[求助] 求给定两点上任意阶导数都是0的光滑函数已有7人参与

设f(x)是区间[a,b]上的光滑函数，a不等于b，且f(a)不等于f(b)，任给正整数n都有

请问这样的函数是否存在？如存在请给一个具体的例子。如不存在如何证明（个人直觉不存在，但证明不了）。谢谢。
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0/0的意义是所有数的集合
1楼2015-09-08 11:44:55
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
f(x)是光滑函数可能不存在，
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，且在（a,b）上除有限个不可导点外处处可导，在x=a和x=b点处任意阶单侧导数都存在且等于零，
这样的函数是存在的
例如
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
6楼2015-09-09 02:17:13
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
可以做成这样一个!
不知是否有用,你参考一下!
你把两个不等高的直线段光滑拼接一下!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
12楼2015-09-09 08:46:03
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

引用回帖:
14楼: Originally posted by tigou at 2015-09-09 10:14:30
这种拼接很可能是无法完成的。也就是说，1楼命题的背后可能隐藏着一个重要的定理。只不过这个定理被前人忽略了。发现这个问题的起因，是我一直在尝试把自然数集上的广义乘光滑地拓展到非负实数集，但无论如何都做不 ...

找到一个合符所有要求的函数之例。如下：


则函数f(x)在区间[a,b]上处处连续光滑（可导）。
且
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
16楼2015-09-10 01:06:41
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普通回帖

liuqh

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
不存在这样的函数
由你的题意存在导数
则f(a)-f(b)=f'(theta)*(a-b)=0,theta为（a,b)间的一个点
故存在的条件是f(a)=f(b)
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2楼2015-09-08 13:06:50
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liuqh

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by liuqh at 2015-09-08 13:06:50
不存在这样的函数
由你的题意存在导数
则f(a)-f(b)=f'(theta)*(a-b)=0,theta为（a,b)间的一个点
故存在的条件是f(a)=f(b)

哦理解错了，理解成了两点间的任意点导数为0.
如果只是两点的任意阶倒数为0，这样的函数应该是存在的
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3楼2015-09-08 13:14:13
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by liuqh at 2015-09-08 13:14:13
哦理解错了，理解成了两点间的任意点导数为0.
如果只是两点的任意阶倒数为0，这样的函数应该是存在的...

有例子才有说服力。谢谢。
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0/0的意义是所有数的集合
4楼2015-09-08 13:23:41
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by liuqh at 2015-09-08 13:14:13
哦理解错了，理解成了两点间的任意点导数为0.
如果只是两点的任意阶倒数为0，这样的函数应该是存在的...

找到实例的话麻烦指点一下。万分感谢。

[ 发自小木虫客户端 ]
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0/0的意义是所有数的集合
5楼2015-09-08 22:25:46
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
看如下的函数例子：


则f(x)在区间[0,3]上是处处光滑可导的，且
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
7楼2015-09-09 04:09:07
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菜鸟000

至尊木虫 (职业作家)

草民

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
f=（x-b）ln（x/b）,光滑连接随意画了

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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China
8楼2015-09-09 06:32:06
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-09-09 04:09:07
看如下的函数例子：
f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{8}e^{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{2}x & x\in\\ linear & x\in\\\frac{3}{8}e^{1-\frac{1}{(x-3)^2}}+\frac{1}{2}(x-3)  & x\in\end{array} ...

谢谢。但您的例子看不到，提示“invalid equation”。
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0/0的意义是所有数的集合
9楼2015-09-09 08:29:46
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拉马之仆

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
大家把问题想复杂了，任一非常数的直线f(x)=c x+d(c≠0)，不是都满足楼主的要求吗？
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10楼2015-09-09 08:41:45
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