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[资源] Superconductivity in Graphene and Carbon Nanotubes

Superconductivity in Graphene and Carbon Nanotubes-Proximity Effect and Nonlocal Transport

Proximity Effect and Nonlocal Transport
Doctoral Thesis accepted by the Autonomous University of Madrid, Spain
Author
Dr. Pablo Burset Atienza
Institute for Theoretical Physics
and Astrophysics
University of Würzburg
Würzburg
Germany
ISSN 2190-5053 ISSN 2190-5061 (electronic)
ISBN 978-3-319-01109-7 ISBN 978-3-319-01110-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-319-01110-3
PAGE-166

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Background and Theoretical Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Graphene Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 From the Tight-Binding Model to the Dirac Equation . . . 9
2.1.2 Relativistic Behavior of Low-Energy
Carriers in Graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Superconductivity Basics I: Proximity Effect . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Proximity Effect on a Normal Metal-Superconductor
Junction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Superconductivity Basics II: Andreev Reflection . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 The Concept of Andreev Reflection . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Transport at a Normal Metal-Superconductor
Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.3 Andreev Reflection in Graphene: Specular and Retro . . . 22
2.3.4 The BTK Model Applied to Graphene. . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.5 Nonlocal Transport and Crossed Andreev
Reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Green Functions Techniques for Graphene Layers with Edges . . . 31
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Tight-Binding Description of Isolated Graphene Layers . . . . . . . 32
3.2.1 Semi-Infinite Armchair Graphene Layer . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 Finite Armchair Graphene Layer. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3 Semi-Infinite Zigzag Graphene Layer . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Continuous Approach to Graphene Layers with Edges . . . . . . . . 36
3.3.1 Armchair Edges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Zigzag Edges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.3 Bulk Green Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Dyson Equation for Coupling Separate Regions . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Conclusion and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 The Graphene-Superconductor Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Modeling the Graphene-Superconductor Interface . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 HDSC Graphene Electrodes Versus
Bulk-BCS Electrodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2 Influence of the Electrodes on the Andreev
Reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Proximity Effect on a Graphene Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.1 Equation for the Minigap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.2 Local Density of States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.3 Semi-Infinite Graphene Layer Within
the TB Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.4 LDOS Within the Continuous Approach
Influence of the Edges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Proximity Induced Interface Bound States . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.1 IBS from Solution Matching at a Graphene
NIS System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.2 Interface Along an Armchair Edge . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.3 Interface Along a Zigzag Edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.4 Effect of a Supercurrent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.5 Effects of Disorder on the IBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Conclusion and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Nonlocal Transport in Graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Electron-Hole Correlations on the GS System. . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Focusing of Electrons and Holes in a GSG System . . . . . . . . . . 88
5.3.1 Electron Optics in Graphene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3.2 Independent Focusing of Electrons and Holes. . . . . . . . . 91
5.3.3 Focusing in the Tunnel Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.4 Deviations from the Ideal Case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Cooper Pair Beam Splitters in Double Quantum Dots . . . . . . . . . . 101
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 Experiments in Double Quantum Dot Structures Made
in Carbon Nanotubes and InAs Nanowires . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3 Microscopic Theory of Cooper Pair Beam Splitters
in Carbon Nanotubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.3.1 Normal State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3.2 Superconduction State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3.3 The Mapping into a Minimal Model
and the Nonlinear Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4 Conclusion and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7 Summary and Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Appendix A: Methodology: Green Functions Techniques . . . . . . . . . . 119
Appendix B: Transport in Superlattices on Single Layer Graphene. . . 131
Appendix C: Scattering Amplitudes at the Graphene-
Superconductor Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Appendix D: Green Functions Techniques Applied to Carbon
Nanotubes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Appendix E: Equation of Motion Approach to Include
Interactions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
List of Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

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