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yibaka

新虫 (正式写手)

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[求助] 求助一个高数积分计算题已有1人参与

$\int_{ - \pi }^\pi {\frac{{x \cdot \sin x}}{{1 + \cos ^2 x}}} dx$

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1楼 2015-06-16 22:10:05

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拉马之仆

银虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
yibaka(feixiaolin代发): 金币+3 2015-06-17 08:21:20

用复变方法，令z=e^(ix)，将原积分化为围线积分求留数。

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2楼2015-06-16 23:14:08

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
yibaka(feixiaolin代发): 金币+2 2015-06-17 08:21:27
feixiaolin: 金币+2 2015-06-23 22:21:42
feixiaolin: 数学EPI+1, 2015第2季度数学EPI 2015-07-01 20:59:17

拉马之仆提供的是正解
我提供一个投机取巧的方法.

首先这被积函数是个偶函数, 因此等于 $2\int_{0}^{\pi} \frac{-x\cdot d{\cos{x}}}{1+\cos^2{x}}$

分部积分, $-2x\cdot \arctan{\cos{x}}|_0^{\pi}+2\int_{0}^{\pi} \arctan{\cos{x}}dx$

前面一部分值为 $\frac{\pi^2}{2}$ , 后面的积分关于 $x=\pi/2$ 中心对称, 一正一负刚好抵消, 所以最后答案就是

$\frac{\pi^2}{2}$

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