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yibaka

新虫 (正式写手)

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[求助] 求助一个高数积分计算题已有1人参与

$\int_{ - \pi }^\pi {\frac{{x \cdot \sin x}}{{1 + \cos ^2 x}}} dx$

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1楼 2015-06-16 22:10:05

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拉马之仆

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
yibaka(feixiaolin代发): 金币+3 2015-06-17 08:21:20

用复变方法，令z=e^(ix)，将原积分化为围线积分求留数。

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2楼2015-06-16 23:14:08

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
yibaka(feixiaolin代发): 金币+2 2015-06-17 08:21:27
feixiaolin: 金币+2 2015-06-23 22:21:42
feixiaolin: 数学EPI+1, 2015第2季度数学EPI 2015-07-01 20:59:17

拉马之仆提供的是正解
我提供一个投机取巧的方法.

首先这被积函数是个偶函数, 因此等于 $2\int_{0}^{\pi} \frac{-x\cdot d{\cos{x}}}{1+\cos^2{x}}$

分部积分, $-2x\cdot \arctan{\cos{x}}|_0^{\pi}+2\int_{0}^{\pi} \arctan{\cos{x}}dx$

前面一部分值为 $\frac{\pi^2}{2}$ , 后面的积分关于 $x=\pi/2$ 中心对称, 一正一负刚好抵消, 所以最后答案就是

$\frac{\pi^2}{2}$

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We_must_know. We_will_know.

3楼2015-06-17 02:19:23

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yibaka

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引用回帖:

2楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-06-16 23:14:08
用复变方法，令z=e^(ix)，将原积分化为围线积分求留数。

可以具体把过程写一下吗？谢谢了

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4楼2015-06-17 10:12:42

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uvwxmc

金虫 (正式写手)

feixiaolin: 屏蔽内容, 楼主要求 2015-06-17 17:29:12

本帖内容被屏蔽

5楼2015-06-17 13:16:24

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uvwxmc

金虫 (正式写手)

feixiaolin: 楼主要求 2015-06-17 17:29:24
feixiaolin: 屏蔽内容, 楼主要求 2015-06-17 17:30:27

本帖内容被屏蔽

6楼2015-06-17 13:20:31

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uvwxmc

金虫 (正式写手)

feixiaolin: 屏蔽内容, 楼主要求 2015-06-17 17:29:36

本帖内容被屏蔽

7楼2015-06-17 13:29:31

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拉马之仆

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★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金币+4 2015-06-23 22:21:54

引用回帖:

4楼: Originally posted by yibaka at 2015-06-17 10:12:42
可以具体把过程写一下吗？谢谢了...

如果只是单纯求楼主的积分，3楼才是巧妙的正解，用复变方法虽然有效，但很麻烦，过程如下（不会编代码，打公式真辛苦

）：

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hank612

8楼2015-06-18 00:44:51

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hank612

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送红花一朵

引用回帖:

8楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-06-18 00:44:51
如果只是单纯求楼主的积分，3楼才是巧妙的正解，用复变方法虽然有效，但很麻烦，过程如下（不会编代码，打公式真辛苦

）：
http://image.keyan.cc/data/weixin/4f/d2/d9bfda9dda334004fd28e458fda67214.jpg...

学问深处意气平

拉马之仆的解题过程似乎曲折,但因为思路清晰明彻, 文章一气呵成,答案水到渠成, 大赞

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We_must_know. We_will_know.

9楼2015-06-18 05:34:57

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vect

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feixiaolin: 金币+2 2015-06-23 22:25:01

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10楼2015-06-19 07:40:51

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