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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 与集合的势有关的一个问题
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tigou

木虫 (正式写手)

[求助] 与集合的势有关的一个问题 已有2人参与

命题： 设P(A)和P(B)分别是非空集A和B的幂集，则|A|=|B|是|P(A)|=|P(B)|的充要条件。
    请问，是否有文献曾经提到过这个命题？命题是否成立？谢谢
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0/0的意义是所有数的集合
1楼 2015-04-30 08:15:34
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Xiaoer_Di

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
好像没有什么书说过这个命题。
命题是成立的，因为假如|A|=n，那么|P(A)|=2^n，指数函数是单调的，所以|A|=|B|是|P(A)|=|P(B)|的充要条件。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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2楼2015-04-30 08:30:45
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Xiaoer_Di

木虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Xiaoer_Di at 2015-04-30 08:30:45
好像没有什么书说过这个命题。
命题是成立的，因为假如|A|=n，那么|P(A)|=2^n，指数函数是单调的，所以|A|=|B|是|P(A)|=|P(B)|的充要条件。

可以查查实变里面有没有相关命题

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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3楼2015-04-30 08:31:30
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
注意到
对于有限集显然有：


对于A，B是可数集结论也成立，
对于A，B是不可数集或更大基数的集合，则应用公理集合论的知识也是成立的。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2015-04-30 08:37:29
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-04-30 08:37:29
注意到\mid P(A)\mid=2^{\mid A\mid}
对于有限集显然有：
\mid A\mid=\mid B\mid\Leftrightarrow\mid P(A)\mid=\mid P(B)\mid
对于A，B是可数集结论也成立，
对于A，B是不可数集或更大基数的集合，则应用公理集 ...

谢谢，能否给出文献名称。另，您的公式怎么打出来的？
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0/0的意义是所有数的集合
5楼2015-04-30 08:50:01
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Xiaoer_Di at 2015-04-30 08:30:45
好像没有什么书说过这个命题。
命题是成立的，因为假如|A|=n，那么|P(A)|=2^n，指数函数是单调的，所以|A|=|B|是|P(A)|=|P(B)|的充要条件。

您的推导只适用有限集
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0/0的意义是所有数的集合
6楼2015-04-30 08:55:57
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Nonsmooth

银虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
左到右构造一一映射就行了。反方向用反证法。
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学术无国界。
7楼2015-04-30 08:59:59
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by Nonsmooth at 2015-04-30 08:59:59
左到右构造一一映射就行了。反方向用反证法。

能否具体说明下反证法的思路。谢谢
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0/0的意义是所有数的集合
8楼2015-04-30 09:07:08
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
你这个问题就是广义连续统假说的一部分

http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis
中的“The generalized continuum hypothesis“一节

所以不要指望一般的书里可以证明或者否证 这个命题， 这是无数神级数学家的卓越成果
Godel, Cohen,Sierpinski,Cantor,Hilbert ...
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We_must_know. We_will_know.
9楼2015-04-30 12:43:34
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by hank612 at 2015-04-30 12:43:34
你这个问题就是广义连续统假说的一部分

http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis
中的“The generalized continuum hypothesis“一节

所以不要指望一般的书里可以证明或者否证 这个命题， 这是无 ...

看到您提供的链接。把一个命题说成是另一个命题的一部分，不符合数学规范。目测可以这么说，广义连续统假设成立是本命题成立的充分条件，但不是必要条件。也许深入的研究可以证明，本命题与广义连续统假设等价。谢谢您的回复，怎么支付赏金
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0/0的意义是所有数的集合
10楼2015-04-30 19:40:39
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