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西门出海

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[交流] 凸集的判定已有2人参与

请问大家，怎样证明一个中点凸的闭集是凸集呢？

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1楼 2015-04-12 10:12:17

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sskkyy

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★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

你的凸集的定义是不是：对任意集合内的点x1,x2, ax1+(1-a)x2也是集合里的点？其中0<a<1.
如果是这样的话，可不可以这样来考虑：
因为当a=1/2时成立（中点凸），所以a=k/2^n, 0<k<2^n, 也是对的，只需不断地取中点。
反证，如果存在a使得ax1+(1-a)x2不是集合里的点，那么取a_i=k/2^n 趋近于a（存在性可有二分法看出）。对充分大的i，ax1+(1-a)x2也不是集合里的点（这里要用到已知的集合是闭集，闭集的补集是开集）。这是矛盾的。

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西门出海

2楼2015-04-14 16:28:25

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送红花一朵

引用回帖:

2楼: Originally posted by sskkyy at 2015-04-14 16:28:25
你的凸集的定义是不是：对任意集合内的点x1,x2, ax1+(1-a)x2也是集合里的点？其中0<a<1.
如果是这样的话，可不可以这样来考虑：
因为当a=1/2时成立（中点凸），所以a=k/2^n, 0<k<2^n, 也是对的，只需 ...

谢谢！红花一朵！k/a^n也成立没太懂，我好好想想这地方

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3楼2015-04-14 16:38:23

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