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jy01230131

铜虫 (小有名气)

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[求助] 再次求教数学高手已有1人参与

问题如图，请予以证明，过程请尽可能详细（数学不太好，步骤太省略怕思路跟不上），中英文皆可。非常感谢。

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1楼 2015-03-30 10:49:41

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

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感谢参与，应助指数 +1
jy01230131: 金币+100, ★★★很有帮助, 非常感谢，那么久才恢复您，非常抱歉 2015-04-03 23:27:55

不妨取任意正函数f(x)>0. 设 $u_1=\frac{a*f(x)}{k_1}, u_2=a*f(x), n_1=a*k_2*f(x), n_2=a*k_2*f(x)+c.$

其中正常数a,k_1,k_2, c满足要求 $k_1=\frac{\frac{M_2}{M_1}+1}{2}>1$ ,

$a=\frac{\frac{3}{4}M_2^2-\frac{1}{4}M_1^2-\frac{1}{2}M_1M_2}{M_2-M_1}\frac{\int_{0}^d 2f (x) dx}{\int_{0}^d f^2(x)dx} >0$ ,

$c=\frac{N(M_2-M_1)}{2a*\int_{0}^d f(x)dx} >0$

剩下最后一个常数 $k_2=k_1*\frac{NM_1}{a^2 \int_{0}^d f^2(x)dx} >0$ 不知道是否大于1.

由于 $k_2=\frac{\int_{0}^{d}f^2(x)dx}{(\int_{0}^d f(x)dx)^2}\cdot \frac{N(M_1+M_2)(M_2-M_1)^2}{2(3M_2^2-M_1^2-2M_1M_2)^2}$ , 楼主可以证明, 存在正函数f(x)(类似脉冲函数 $\delta(x)$ )使得:
$\frac{\int_{0}^{d}f^2(x)dx}{(\int_{0}^d f(x)dx)^2}$ 充分大, 所以k_2可以大于1. 问题解决.

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