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落叶无声===

木虫 (正式写手)

Dragonborn

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[求助] 求助数学证明题

求证: n*(1-x^2)*x^(2n)-(2x+x^2)*(1-x^2n)+2x*(1+x)*(1-x^n)恒大于0，其中0<x<1,n为大于2的整数。求大神指教！不胜感激！由于手机传不了图，只能手打。

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1楼 2015-03-24 13:09:38

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
落叶无声===: 金币+50, ★★★★★最佳答案, 非常谢谢你！你的思路很好，之前一直在证都毫无头绪，十分感谢！ 2015-03-26 01:41:36

引用回帖:

5楼: Originally posted by 落叶无声=== at 2015-03-24 20:38:37
求导也算过，但是太复杂了，也判断不出式子单调性。因式分解尝试分解了一下，但是没有进一步进展

...

思路是楼主和zaq123321提到的求导判断增减性。只是要有耐心而已。

设y=1/x 在(1,正无穷)之间。设n>2正整数。

(1): 由 $2(2n-1)>(n-2)+(n+1)$ 以及导数 $2(2n-1)\cdot ny^{n-1}>(n+1)$
知道 $2(2n-1)y^n > (n-2)+ (n+1)y$ , 即 $2(2n-1)y^{2n-3} > (n-2)y^{n-3}+ (n+1)y^{n-2}$ , 因此 $(2n-1)(2n-2)y^{2n-3} > (n-1)(n-2)y^{n-3}+ (n-1)(n+1)y^{n-2}$ , 即 $n(2n-1)(2n-2)y^{2n-3} > n(n-1)(n-2)y^{n-3}+ n(n-1)(n+1)y^{n-2}$ ,

(2)由于 $n+n(2n-1)= n(n-1)+n(n+1)$ , 对上述不等式积分知道
$n+n(2n-1)y^{2n-2} > n(n-1)y^{n-2}+(n+1)ny^{n-1}$

(3)再来。由于 $n+1+n= n+(n+1)$ , 对上述不等式积分知道
$ny+1+ny^{2n-1} > ny^{n-1}+(n+1)y^{n}$ , 这就是
$n\cdot 2y > ny^{n-1}(2y+1-y^n)+(y^n-1)(2-ny^{n-1})$

(4)两个函数都从零出发，得到
$n(y^2-1) > (y^n-1)(2y+1-y^n)$ . 由y=1/x, 有 $n(\frac{1}{x^2}-1)>(\frac{1}{x^n}-1)(\frac{2}{x}+1-\frac{1}{x^n})$ , 即
$n(1-x^2)x^{2n-2}>(1-x^n)(2x^{n-1}+x^n-1)$

(5)即 $n(1-x^2)x^{2n} > (1-x^n)((2x+x^2)x^n-x^2)$ 可以看出，这就是
$n(1-x^2)x^{2n}> (2x+x^2)(1-x^{2n}) - 2x(1+x)(1-x^n)$ 楼主想要的不等式。

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We_must_know. We_will_know.

6楼2015-03-25 23:00:51

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zaq123321

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
落叶无声===: 金币+10, ★有帮助, 非常谢谢你能关注这个问题！ 2015-03-26 01:42:30

Replace the second x^(2n) with x^n. Combine the second term and third term. Then each term is positive.

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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。

2楼2015-03-24 15:56:57

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落叶无声===

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2楼: Originally posted by zaq123321 at 2015-03-24 15:56:57
Replace the second x^(2n) with x^n. Combine the second term and third term. Then each term is positive.

替换后式子被放大了吧……要放缩的话应该要放小……不过还是感谢！

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3楼2015-03-24 18:00:34

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zaq123321

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【答案】应助回帖

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3楼: Originally posted by 落叶无声=== at 2015-03-24 18:00:34
替换后式子被放大了吧……要放缩的话应该要放小……不过还是感谢！
...

Sorry about this. Then should we compute the second derivative, which is negative in (0,1)?
But the calculation looks pretty complex.

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4楼2015-03-24 19:48:30

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