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[资源] Introduction to Mathematical Physics (Wiley, 2007)

1 Infinite Sequences and Series 1
1.1 Real andComplexNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 AlgebraicEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Infinite Sequences; Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Sets of Real and Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Convergence of Infinite Series and Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Convergence and Divergence; Absolute Convergence . . . . . . . . . 8
1.2.2 Tests for Convergence of an Infinite Series of Positive Terms . . . . . 10
1.2.3 Alternating Series and Rearrangements . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Infinite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Sequences andSeries ofFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Pointwise Convergence and Uniform Convergence of Sequences of
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Weak Convergence; Generalized Functions . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Infinite Series of Functions; Power Series . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 AsymptoticSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 The Exponential Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 AsymptoticExpansions;AsymptoticSeries . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 Laplace Integral;Watson’sLemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
A IteratedMaps,PeriodDoubling, andChaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Bibliography andNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Finite-Dimensional Vector Spaces 37
2.1 Linear Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 LinearVectorSpaceAxioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2 Vector Norm; Scalar Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.3 Sum and Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.4 SequencesofVectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.5 Linear Functionals and Dual Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 LinearOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.1 Linear Operators; Domain and Image; Bounded Operators . . . . . . 51
2.2.2 Matrix Representation; Multiplication of Linear Operators . . . . . . 54
Introduction to Mathematical Physics. Michael T. Vaughn
Copyright c 2007 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
ISBN: 978-3-527-40627-2
VI Contents
2.2.3 TheAdjointOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.4 Change of Basis; Rotations; Unitary Operators . . . . . . . . . . . . 57
2.2.5 InvariantManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.6 ProjectionOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 Eigenvectors andEigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.1 EigenvalueEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.2 Diagonalization of a Linear Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.3 SpectralRepresentationofNormalOperators . . . . . . . . . . . . . 67
2.3.4 Minimax Properties of Eigenvalues of Self-Adjoint Operators . . . . 71
2.4 Functions ofOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5 LinearDynamicalSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A Small Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Bibliography andNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3 Geometry in Physics 93
3.1 Manifolds andCoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.1 Coordinates on Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1.2 SomeElementaryManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.3 ElementaryProperties ofManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2 Vectors,DifferentialForms, andTensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.1 Smooth Curves and Tangent Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.2 Tangent Spaces and the Tangent Bundle T (M) . . . . . . . . . . . . 105
3.2.3 DifferentialForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.4 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.5 Vector andTensorFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.2.6 TheLieDerivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3 CalculusonManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.1 Wedge Product: p-Forms and p-Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.3.2 ExteriorDerivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3.3 Stokes’TheoremanditsGeneralizations . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3.4 ClosedandExactForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.4 MetricTensor andDistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.4.1 MetricTensor of aLinearVectorSpace . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.4.2 RaisingandLowering Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.4.3 MetricTensor of aManifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.4.4 MetricTensor andVolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.4.5 TheLaplacianOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.4.6 GeodesicCurvesonaManifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.5 DynamicalSystems andVectorFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.5.1 What is aDynamicalSystem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.5.2 AModel fromEcology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.5.3 LagrangianandHamiltonianSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.6 FluidMechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Contents VII
A CalculusofVariations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
B Thermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Bibliography andNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4 Functions of a Complex Variable 167
4.1 Elementary Properties of Analytic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.1.1 Cauchy–Riemann Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.1.2 ConformalMappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.2 Integration in theComplexPlane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.2.1 IntegrationAlong aContour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.2.2 Cauchy’sTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.2.3 Cauchy’s IntegralFormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.3 AnalyticFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.3.1 AnalyticContinuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.3.2 Singularities of an Analytic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.3.3 Global Properties of Analytic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.3.4 LaurentSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.3.5 Infinite Product Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.4 Calculus ofResidues:Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.4.1 CauchyResidueTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.4.2 EvaluationofReal Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.5 PeriodicFunctions;FourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.5.1 PeriodicFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.5.2 Doubly Periodic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
A GammaFunction;BetaFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
A.1 GammaFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
A.2 BetaFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Bibliography andNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5 Differential Equations: Analytical Methods 211
5.1 Systems ofDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.1.1 General Systems of First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.1.2 Special Systems of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.2 First-OrderDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.2.1 LinearFirst-OrderEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.2.2 RicattiEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.2.3 ExactDifferentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.3 LinearDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.3.1 nthOrderLinearEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.3.2 PowerSeriesSolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.3.3 Linear Independence; General Solution . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.3.4 Linear Equation with Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . 225
VIII Contents
5.4 Linear Second-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.4.1 Classification of Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.4.2 Exponents at a Regular Singular Point . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.4.3 One Regular Singular Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.4.4 Two Regular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.5 Legendre’sEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.5.1 Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.5.2 Legendre Functions of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.6 Bessel’sEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.6.1 BesselFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.6.2 HankelFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.6.3 Spherical Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
A HypergeometricEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
A.1 ReductiontoStandardForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
A.2 PowerSeriesSolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
A.3 IntegralRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
B Confluent Hypergeometric Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
B.1 ReductiontoStandardForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
B.2 IntegralRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
C Elliptic Integrals and Elliptic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Bibliography andNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6 Hilbert Spaces 261
6.1 Infinite-Dimensional Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.1.1 HilbertSpaceAxioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.1.2 Convergence inHilbert space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.2 Function Spaces; Measure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.2.1 Polynomial Approximation; Weierstrass Approximation Theorem . . 268
6.2.2 Convergence in theMean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6.2.3 MeasureTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.3 FourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.3.1 Periodic Functions and Trigonometric Polynomials . . . . . . . . . . 273
6.3.2 ClassicalFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.3.3 ConvergenceofFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.3.4 Fourier Cosine Series; Fourier Sine Series . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.4 Fourier Integral; IntegralTransforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.4.1 FourierTransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.4.2 Convolution Theorem; Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . 284
6.4.3 LaplaceTransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.4.4 Multidimensional Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.4.5 FourierTransforminQuantumMechanics . . . . . . . . . . . . . . . 288
6.5 Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.5.1 Weight Functions and Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . 289
6.5.2 Legendre Polynomials and Associated Legendre Functions . . . . . . 290
6.5.3 SphericalHarmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Contents IX
6.6 HaarFunctions;Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
A Standard Families of Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Bibliography andNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
7 Linear Operators on Hilbert Space 319
7.1 SomeHilbertSpaceSubtleties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
7.2 General Properties of Linear Operators on Hilbert Space . . . . . . . . . . . 324
7.2.1 Bounded, Continuous, and Closed Operators . . . . . . . . . . . . . 324
7.2.2 InverseOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.2.3 Compact Operators; Hilbert–Schmidt Operators . . . . . . . . . . . . 326
7.2.4 AdjointOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.2.5 UnitaryOperators; IsometricOperators . . . . . . . . . . . . . . . . 329
7.2.6 Convergence of Sequences of Operators in H . . . . . . . . . . . . . 329
7.3 Spectrum of Linear Operators on Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . 330
7.3.1 Spectrum of a Compact Self-Adjoint Operator . . . . . . . . . . . . 330
7.3.2 Spectrum of Noncompact Normal Operators . . . . . . . . . . . . . 331
7.3.3 Resolution of the Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.3.4 Functions of a Self-Adjoint Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
7.4 LinearDifferentialOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7.4.1 Differential Operators and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . 336
7.4.2 Second-Order Linear Differential Operators . . . . . . . . . . . . . . 338
7.5 Linear IntegralOperators;GreenFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.5.1 Compact Integral Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.5.2 Differential Operators and Green Functions . . . . . . . . . . . . . . 341
Bibliography andNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
8 Partial Differential Equations 353
8.1 LinearFirst-OrderEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
8.2 The Laplacian and Linear Second-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . 359
8.2.1 Laplacian and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
8.2.2 Green Functions for Laplace’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 360
8.2.3 Spectrumof theLaplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
8.3 Time-Dependent Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 366
8.3.1 TheDiffusionEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
8.3.2 Inhomogeneous Wave Equation: Advanced and Retarded Green
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
8.3.3 TheSchrödingerEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
8.4 NonlinearPartialDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
8.4.1 Quasilinear First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
8.4.2 KdVEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
8.4.3 Scalar Field in 1 + 1Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
8.4.4 Sine-GordonEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
A LagrangianFieldTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
X Contents
Bibliography andNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
9 Finite Groups 391
9.1 General Properties of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
9.1.1 GroupAxioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
9.1.2 Cosets andClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
9.1.3 Algebras;GroupAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
9.2 Some Finite Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
9.2.1 Cyclic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
9.2.2 Dihedral Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
9.2.3 TetrahedralGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
9.3 The Symmetric Group SN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
9.3.1 Permutations and the Symmetric Group SN . . . . . . . . . . . . . . 401
9.3.2 Permutations and Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
9.4 GroupRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
9.4.1 Group Representations by Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . 406
9.4.2 Schur’s Lemmas and Orthogonality Relations . . . . . . . . . . . . . 410
9.4.3 Kronecker Product of Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
9.4.4 PermutationRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
9.4.5 Representations of Groups and Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . 422
9.5 Representations of the Symmetric Group SN . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
9.5.1 Irreducible Representations of SN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
9.5.2 Outer Products of Representations of Sm ⊗Sn . . . . . . . . . . . . 426
9.5.3 Kronecker Products of Irreducible Representations of SN . . . . . . 428
9.6 Discrete Infinite Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
A FrobeniusReciprocityTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
B S-Functions and Irreducible Representations of SN . . . . . . . . . . . . . . 437
B.1 Frobenius Generating Function for the Simple Characters of SN . . . 437
B.2 Graphical Calculation of the Characters χ(λ)
(m) . . . . . . . . . . . . . 442
B.3 Outer Products of Representations of Sm ⊗Sn . . . . . . . . . . . . 446
Bibliography andNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
10 Lie Groups and Lie Algebras 457
10.1 Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
10.2 LieAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
10.2.1 The Generators of a Lie Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
10.2.2 TheLieAlgebra of aLieGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
10.2.3 ClassificationofLieAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
10.3 RepresentationsofLieAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
10.3.1 Irreducible Representations of SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
10.3.2 Addition of Angular Momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
10.3.3 SN and the Irreducible Representations of SU(2) . . . . . . . . . . . 474
10.3.4 Irreducible Representations of SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
Contents XI
A Tensor Representations of the Classical Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . 482
A.1 The Classical Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
A.2 Tensor Representations of U(n) and SU(n) . . . . . . . . . . . . . . 483
A.3 Irreducible Representations of SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
B Lorentz Group; Poincaré Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
B.1 LorentzTransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
B.2 SL(2, C) and the Homogeneous Lorentz Group . . . . . . . . . . . . 493
B.3 Inhomogeneous Lorentz Transformations; Poincaré Group . . . . . . 496
Bibliography andNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
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