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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一个积分的“元”问题。
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望陈莫及1984

铜虫 (正式写手)

[求助] 一个积分的“元”问题。 已有7人参与

首先声明，问这个问题只是出于好奇，我没有高深的数学基础，如果你觉得问题很二的话，也不要笑话。
怎么证明一个曲边梯形的面积可以用对应函数在一定定义域内的定积分表示出来？
换句话说，怎么证明曲边梯形的面积和对应函数的原函数的关系从何而来？图片中的式子是怎么来的？

一个积分的“元”问题。
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命中注定的自作自受
1楼 2015-03-02 13:08:12
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

修竹依米

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
望陈莫及1984: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 谢谢，原来如此，这就是我要的答案。 2015-03-05 20:04:25
引用回帖:
20楼: Originally posted by 望陈莫及1984 at 2015-03-04 11:42:46
我明白，极限等于曲边梯形面积，积分等于原函数的差值，那么极限为什么等于积分？...

和你的理解有所差距：
这种和的极限就定义为定积分
至于定积分等于原函数的差值 是在研究变上限积分之后得到的
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21楼2015-03-05 16:27:39
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普通回帖

xvsb

至尊木虫 (职业作家)

zhe_虫虫不坏

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个是严格相等的
想起高数老师来→_→”大化小，常代变，近似和，取极限”

[ 发自小木虫客户端 ]
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愿有岁月可回首，共以韶华错觥筹（且行且珍惜）
2楼2015-03-02 13:12:09
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
个人认为，楼主提出的问题的答案其实就是牛顿-莱布尼兹公式的推导过程。
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3楼2015-03-02 13:43:44
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望陈莫及1984

铜虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2015-03-02 13:43:44
个人认为，楼主提出的问题的答案其实就是牛顿-莱布尼兹公式的推导过程。

牛顿-莱布尼兹公式证明了定积分和原函数的关系。
可又怎么证明积分（原函数之差）就是曲边梯形面积呢？
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命中注定的自作自受
4楼2015-03-02 14:04:32
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
4楼: Originally posted by 望陈莫及1984 at 2015-03-02 14:04:32
牛顿-莱布尼兹公式证明了定积分和原函数的关系。
可又怎么证明积分（原函数之差）就是曲边梯形面积呢？...

我的理解是：区间无限划分后微元之积之间求和的式子就定义为该区间上的定积分；而这个定积分的计算可通过牛顿-莱布尼兹公式进行。之所以可以这么做的原因可通过弄懂了公式的推导过程而得到解决。
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5楼2015-03-02 14:16:08
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望陈莫及1984

铜虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by peterflyer at 2015-03-02 14:16:08
我的理解是：区间无限划分后微元之积之间求和的式子就定义为该区间上的定积分；而这个定积分的计算可通过牛顿-莱布尼兹公式进行。之所以可以这么做的原因可通过弄懂了公式的推导过程而得到解决。...

原谅我数学基础不好，一时无法理解。
微元之积？指的是f(x)dx？又是如何从f(x)dx到定积分的？或者说，前面那个积分符号“∫”是怎么出来的？
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命中注定的自作自受
6楼2015-03-02 15:01:25
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
“∫”的记号是莱布尼兹发明的，是和SUM中S的拉长，而加上上下积分区间则是欧拉发明的。
用大、小曲边梯形来逼近函数所包围的面积，是莱布尼兹最初解决求面积的方法，并由此发明了积分。等式右边又称为黎曼和。
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凡事，一笑而过。。。。。。
7楼2015-03-02 15:22:30
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
6楼: Originally posted by 望陈莫及1984 at 2015-03-02 15:01:25
原谅我数学基础不好，一时无法理解。
微元之积？指的是f(x)dx？又是如何从f(x)dx到定积分的？或者说，前面那个积分符号“∫”是怎么出来的？...

我的意思就是Sum{f(xi)*Δxi, i=1~n,n--->∞}=Integral{f(x)*dx, x=a~b}是人为规定的。而这个人为规定的符号通过牛顿-莱布尼兹公式将它和不定积分联系了起来。这就是定积分的由来。
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8楼2015-03-02 15:28:09
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望陈莫及1984

铜虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by hylpy at 2015-03-02 15:22:30
“∫”的记号是莱布尼兹发明的，是和SUM中S的拉长，而加上上下积分区间则是欧拉发明的。
用大、小曲边梯形来逼近函数所包围的面积，是莱布尼兹最初解决求面积的方法，并由此发明了积分。等式右边又称为黎曼和。

我问的不是谁发明的。
我是问是微分f(x)dx是怎么变成积分∫f(x)dx的。
微分方程也是这样，f(x)乘dx就变成了∫f(x)dx。what's the reason?
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命中注定的自作自受
9楼2015-03-02 20:50:09
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望陈莫及1984

铜虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by peterflyer at 2015-03-02 15:28:09
我的意思就是Sum{f(xi)*Δxi, i=1~n,n--->∞}=Integral{f(x)*dx, x=a~b}是人为规定的。而这个人为规定的符号通过牛顿-莱布尼兹公式将它和不定积分联系了起来。这就是定积分的由来。...

人为规定？为什么这样规定？
我不能把马拉出来的东西规定叫牛粪吧？
错非这样规定，不然什么都不是；一旦这样规定，一切都能解释得通。
怎么这么巧？
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命中注定的自作自受
10楼2015-03-02 20:56:22
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