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幂级数收敛半径的问题 已有3人参与
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已知幂级数f(x)的收敛半径为R，a为（-R,R）中一点，g(x)是f(x)在a点的幂级数展开，那么幂级数g(x)的收敛半径是多少，g(x)和f(x)有什么样的关系？ |
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pippi6
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feixiaolin: 金币+2 2015-03-01 22:57:57
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feixiaolin: 金币+2 2015-03-01 22:57:57
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我给一个思路，不一定对。请熟悉复变函数解析展开的朋友指正。 应该在复平面上讨论此问题。如果f(z)在0附近解析，收敛半径为R，那么在|z|=R 圆周上应有至少一个奇点。我们限于讨论|z|=R 圆周上只有一个奇点的情形，奇点记为s。假定a是圆盘|z|<R内的任何一点，那么如果 r=|s-a| < R，那么g(z) ，f(z) 在a附近的Taylor展开，的收敛半径就应该是 |s-a|。 如果 r=|s-a| > R, 那么就应该看在|z-a|< r内 是否有其他奇点存在，如果有，比如s2，则收敛半径为 r=|s2-a| 。所以，g(z)收敛半径要看是f(z) 否有其他奇点。 |
3楼2015-03-01 21:20:42
2楼2015-03-01 17:06:59
junefi
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3L解答比较完整，但在实单变量power series中会更简单。 复变函数中收敛半径可以理解为展开点到最近的奇异点的距离，在实变量中是相同的。 有一个定理是说：题中的g(x)在|x-a|<R-|a|中必然收敛，但要是指出确定的收敛半径，同3L而言，要看实际的函数，因为收敛域可能要比|x-a|<R-|a|确定的区间更大。 如果用3L的角度来说，|z-a|<R-|a|这个区域没超出圆|z|<R，没超出这个圆我们百分百确定没有奇异点。但超出了是否可以呢？这就要看最近的奇异点在哪里（肯定不在圆里）。 在收敛的区域内，f(x)=g(x)。或者保守地说，在|x-a|<R-|a|内，f(x)=g(x)。 |
4楼2015-03-01 22:20:05
5楼2015-03-02 18:03:55
