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张抛砖

银虫 (小有名气)

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[求助] 四阶非齐次方程求解已有1人参与

如下图中所示，，怎么求u的表达式（5）？？

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菠萝菠萝蜜

1楼2015-01-09 21:27:32

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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使用Laplace变换很容易按部就班地解决该问题，不用脑筋急转弯。
  问题可归纳为：
   a*d^4u/dy^4 - b*d^2u/dy^2=c                (1)
      u(0)=u(h)=u''(0)=u''(h)=0                         (2)

先假设该问题有解。并令u'(0)=m,u'''(0)=n
设U(s)为u(x)的拉式变换。对（1）两边关于y求拉式变换，得到：
a*[s^4*U(s)-s^3*u(0)-s^2*u'(0)-s*u''(0)-u'''(0)]-b*[s^2*U(s)-s*u(0)-u'(0)]=c/s
即：a*[s^4*U-m*s^2-n]-b*[s^2*U-m]=c/s
U(s)=[a*m*s^2+a*n-b*m+c/s]/[a*s^4-b*s^2]
   =[a*m*s^3+(a*n-b*m)*s+c]/[a*s^3*(s^2-b/a)]
   =[a*m*s^3+(a*n-b*m)*s+c]/{a*s^3*[s+sqrt(b/a)]*[s-sqrt(b/a)]}
=[m*s^3+(n-b/a*m)*s+c/a]/{s^3*[s+sqrt(b/a)]*[s-sqrt(b/a)]}
这是个关于s的有理真分式，由代数学知识，U(s)可设定分为以下形式：
U(s)=A/s^3+B/s^2+C/s+D/[s+sqrt(b/a)]+E/[s-sqrt(b/a)]
A~E可通过比较等号两边同次项系数的方式获得，这个工作很容易，就是计算麻烦一些而已。就留给楼主做了。
  故对U(s)求拉式反变换就求得了u(y):
   u(y)=L^(-1)[U(s)]
      =1/2*A*y^2+B*y+C+D*e^[-sqrt(b/a)*y]+E*e^[sqrt(b/a)*y]
现在有了u(y)的函数形式，但还有m和n两个待求参数。
将（2）中的u'(h)=u''(h)=0代入上式，得到关于m和n的二元方程组，解之，获得m、n的值。如此一来，本问题就彻底得到了解决。