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飞天涛涛木虫 (小有名气)
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[求助]
简单的卷积问题，请数学系的大神指教呀 已有1人参与
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我有一个动力学方程，mz"+cz'+kz=f(t)，因为f(t)的表达式复杂，所以采用拉普拉斯变换转到s域去解决，具体方法见图1。采用图1的方法，代入初值z(0)和z'(0)到Z(s)，在进行你拉普拉斯变换就可以得到z（t），这个是一个解析的关于t的表达式，换言之，我只需要代入比如t=0,1,2,...,10，就可以求得对应的11个z的值。 但是现在我想实现一种时间推进的功能，或者说是放弃原先解析的功能转为数值的方式。简单的说，就是在t=0的时候，利用z（0）和z‘（0）作为初值，采用上面的方法，得到z（t），然后计算detat的时间步（比如detat=1），就得到相应的z（1）和z’（1）的值。然后把z（1）和z’（1）作为初值，再采用上面类似的方法，得到新的z（t），然后再计算detat的实时间步，就得到新的z（1）和z’（1）（事实上对应的是前面解析法的z（2）和z‘（2））。然后重复这种数值或者时间推进的方式，得到t=0,1,2,...,10对应的11个z的值。 举个简单的例子，假设有如图2所示的简单的动力学方程，可以先给出解析的方法。但是如果要实现上面的时间推进或者数值的功能，那么需要做的就是在f（t）累加上时间步，如图3所示。 回到我的动力学方程，那么问题就总结为如图4所示的问题。求大神指点!  1.JPG  2.JPG  3.JPG  4.JPG |
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feixiaolin
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【答案】应助回帖
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除过拉普拉斯解法，还有两种解法 1. 直接法 z''=[z(t + 2∆t) - 2*z(t + ∆t) + z(t)] /(∆t)^2 z'=[z(t + ∆t) - z(t + ∆t)] /∆t 代入原方程，用递推法求解 2. 卷积积分法 先求系统冲击响应，求出的系统传递函数 H(s)，或H(t) 然后，z(t)=h(t)@f(t) 这里，用“@”表示卷积运算 mz"+cz'+kz=f(t)，看样子像力学平衡方程  设 m*x^2 + c*x + k=0 的两个根为p1, p2, 判别式∆不等于零时， h(t) 的表达式为 h(t)=c1*exp(-p1*t)+c2*exp(-p2*t) ∆等于零时，h(t) = (c1*t+c2)*exp(-p1*t)=(c1*t+c2)*exp(-p2*t) (p1=p2) ∆>0时，h(t)为衰减函数，离散化，可与 f(t) 的离散表达式做卷积运算  22.PNG L[f(t + ∆t)]=exp( s*∆t)*L[f(t)] |
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2014-12-20 20:59:16, 273.5 K
2楼2014-12-20 20:53:12
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【答案】应助回帖
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飞天涛涛: 金币+30, ★有帮助, 都木有涉及如何解决拉普拉斯问题的，不过还是感谢呀 2015-03-02 20:13:49
飞天涛涛: 金币+30, ★有帮助, 都木有涉及如何解决拉普拉斯问题的，不过还是感谢呀 2015-03-02 20:13:49
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3. 时间序列分析法 将S域模型用Z域模型逼近，直接数字化处理【一了百了】。过程参考附件文献 |
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2014-12-22 08:49:25, 266.81 K
3楼2014-12-22 08:50:47
