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飞天涛涛

木虫 (小有名气)

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[求助] 简单的卷积问题，请数学系的大神指教呀已有1人参与

我有一个动力学方程，mz"+cz'+kz=f(t)，因为f(t)的表达式复杂，所以采用拉普拉斯变换转到s域去解决，具体方法见图1。采用图1的方法，代入初值z(0)和z'(0)到Z(s)，在进行你拉普拉斯变换就可以得到z（t），这个是一个解析的关于t的表达式，换言之，我只需要代入比如t=0,1,2,...,10，就可以求得对应的11个z的值。

但是现在我想实现一种时间推进的功能，或者说是放弃原先解析的功能转为数值的方式。简单的说，就是在t=0的时候，利用z（0）和z‘（0）作为初值，采用上面的方法，得到z（t），然后计算detat的时间步（比如detat=1），就得到相应的z（1）和z’（1）的值。然后把z（1）和z’（1）作为初值，再采用上面类似的方法，得到新的z（t），然后再计算detat的实时间步，就得到新的z（1）和z’（1）（事实上对应的是前面解析法的z（2）和z‘（2））。然后重复这种数值或者时间推进的方式，得到t=0,1,2,...,10对应的11个z的值。

举个简单的例子，假设有如图2所示的简单的动力学方程，可以先给出解析的方法。但是如果要实现上面的时间推进或者数值的功能，那么需要做的就是在f（t）累加上时间步，如图3所示。

回到我的动力学方程，那么问题就总结为如图4所示的问题。求大神指点!

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1楼 2014-12-20 19:23:12

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feixiaolin

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

除过拉普拉斯解法，还有两种解法
1. 直接法
z''=[z(t + 2∆t) - 2*z(t + ∆t) + z(t)] /(∆t)^2
z'=[z(t + ∆t) - z(t + ∆t)] /∆t
代入原方程，用递推法求解

2. 卷积积分法
先求系统冲击响应，求出的系统传递函数 H(s)，或H(t)
然后，z(t)=h(t)@f(t) 这里，用“@”表示卷积运算
mz"+cz'+kz=f(t)，看样子像力学平衡方程

设 m*x^2 + c*x + k=0 的两个根为p1, p2, 判别式∆不等于零时，
h(t) 的表达式为 h(t)=c1*exp(-p1*t)+c2*exp(-p2*t)
∆等于零时，h(t) = (c1*t+c2)*exp(-p1*t)=(c1*t+c2)*exp(-p2*t) (p1=p2)
∆>0时，h(t)为衰减函数，离散化，可与 f(t) 的离散表达式做卷积运算