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wangyymm

金虫 (著名写手)

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[求助] 分析问题

各位大虾,请教几个分析问题.谢谢!!!

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1楼 2014-12-10 18:57:39

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wangyymm

金虫 (著名写手)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-11 06:15:13
第三题试试看:

(1) 若f属于L^1(X,\mu), 令E_n=\{x\in X|\frac{1}{n}\leq |f(x)|\leq \frac{1}{n-1}\}, n=1,2,.... 那么, \{x\in X| f(x)\neq 0\}=\cup_{n=1}^{\infty}E_n并且\infty> \int_X|f(x)|d\mu \geq \ ...

大虾, (2) 中第三行好像漏掉一部分,能否补上?谢谢!!!

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5楼2014-12-11 11:18:20

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
wangyymm(feixiaolin代发): 金币+10, 楼主要求 2014-12-11 15:38:26

第三题试试看:

(1) 若f属于 $L^1(X,\mu)$ , 令 $E_n=\{x\in X|\frac{1}{n}\leq |f(x)|\leq \frac{1}{n-1}\}$ , n=1,2,.... 那么, $\{x\in X| f(x)\neq 0\}=\cup_{n=1}^{\infty}E_n$ 并且 $\infty> \int_X|f(x)|d\mu \geq \sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)\frac{1}{n}$ , 于是每一个E_n都是有限集合, 而可数个可数集合依然可数, 所以 $\{x\in X| f(x)\neq 0\}$ 最多可数.

(2) 先证Banach空间. 设 $\parallel f_n-f_m\parallel \rightarrow 0$ 为一列Cauchy 列. 对于任意一点x, 都有: $\parallel f_n-f_m\parallel \geq |f_n(x)-f_m(x)|*\mu(\{x\})= |f_n(x)-f_m(x)|$ , 所有对每一点, f_n(x)都是Cauchy数列, 还是一致收敛于极限函数g(x). 由于 $\int_X|g(x)|d\mu\leq$

由一致收敛性, 对所有的 $\{y \in X: |g(y)|\geq \frac{1}{k} \}$ , 存在N,使得 $sup_{ x\in X, n\geq N}|g(x)-f_n(x)|\leq \frac{1}{2k}$ , 于是 $|g(y)-f_m(y)|\leq \frac{1}{2k}+|f_m(y)|\leq 2|f_m(y)|$ 对所有的m>N成立. 于是 $\int_{|g(x)|\geq \frac{1}{k}} |g(x)|d\mu \leq \int_{|g(x)|\geq \frac{1}{k}} 2|f_m(x)|d\mu +\int_X |f_m(x)|d\mu \leq 3M$ , 常数 $M=sup_n \parallel f_n\parallel$
从而单调上升序列 $\int_{|g(x)|\geq \frac{1}{k}} |g(x)|d\mu$ 有上界, 因此有极限, $\parallel g \parallel <\infty$ , Banach空间成立.

回头证不可分. 如果{f_n}在X中稠密, 那么由第一部分结果知道, $\{x: f_n(x)\neq 0 \mbox{for some n}\}$ 是可数个可数集合的并, 依然可数. 可是X自身是不可数集合, 取一点a 使得f_n(a)=0恒等于零, 那么函数G(x)=" 1 if x=a; 0 otherwise" 满足 $\parallel G-f_n \parallel \geq 1$ 无法被逼近, 矛盾.