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wangyymm

金虫 (著名写手)

[求助] 分析问题

各位大虾,请教几个分析问题.谢谢!!!

分析问题
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1楼 2014-12-10 18:57:39
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wangyymm

金虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-11 06:15:13
第三题试试看:

(1) 若f属于L^1(X,\mu), 令E_n=\{x\in X|\frac{1}{n}\leq |f(x)|\leq \frac{1}{n-1}\}, n=1,2,.... 那么, \{x\in X| f(x)\neq 0\}=\cup_{n=1}^{\infty}E_n并且\infty> \int_X|f(x)|d\mu \geq \ ...

大虾,  (2) 中第三行好像漏掉一部分,能否补上?谢谢!!!
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5楼2014-12-11 11:18:20
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
wangyymm(feixiaolin代发): 金币+10, 楼主要求 2014-12-11 15:38:26
第三题试试看:

(1) 若f属于, 令, n=1,2,.... 那么, 并且, 于是每一个E_n都是有限集合, 而可数个可数集合依然可数, 所以最多可数.

(2) 先证Banach空间.  设 为一列Cauchy 列. 对于任意一点x, 都有: , 所有对每一点, f_n(x)都是Cauchy数列, 还是一致收敛于极限函数g(x).  由于

由一致收敛性, 对所有的, 存在N,使得, 于是 对所有的m>N成立. 于是, 常数
从而单调上升序列 有上界, 因此有极限, , Banach空间成立.

回头证不可分. 如果{f_n}在X中稠密, 那么由第一部分结果知道, 是可数个可数集合的并, 依然可数. 可是X自身是不可数集合, 取一点a 使得f_n(a)=0恒等于零, 那么函数G(x)=" 1 if x=a; 0 otherwise" 满足 无法被逼近, 矛盾.
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We_must_know. We_will_know.
2楼2014-12-11 06:15:13
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wangyymm

金虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-11 06:15:13
第三题试试看:

(1) 若f属于L^1(X,\mu), 令E_n=\{x\in X|\frac{1}{n}\leq |f(x)|\leq \frac{1}{n-1}\}, n=1,2,.... 那么, \{x\in X| f(x)\neq 0\}=\cup_{n=1}^{\infty}E_n并且\infty> \int_X|f(x)|d\mu \geq \ ...

谢谢!
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3楼2014-12-11 11:15:29
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wangyymm

金虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-11 06:15:13
第三题试试看:

(1) 若f属于L^1(X,\mu), 令E_n=\{x\in X|\frac{1}{n}\leq |f(x)|\leq \frac{1}{n-1}\}, n=1,2,.... 那么, \{x\in X| f(x)\neq 0\}=\cup_{n=1}^{\infty}E_n并且\infty> \int_X|f(x)|d\mu \geq \ ...

4楼2014-12-11 11:15:37
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