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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 一个不等式的证明
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shy1992331

新虫 (小有名气)

[求助] 一个不等式的证明已有4人参与

f(x)和g(x)都是密度函数，证明下面的不等式：
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1楼2014-11-20 11:30:13
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修竹依米

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
l楼主确定是不定积分？
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2楼2014-11-22 16:20:44
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
不定积分是函数族，何来不等式比较？
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2014-11-22 19:41:03
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blackshoes

木虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
shy1992331(feixiaolin代发): 金币+1 2014-12-03 16:32:50
结论不对，左边积分应只是对|f(x)-g(x)|，然后这个结果就是经典的Pinsker's inequality，google即可。

对于如上左式的一个反例：取f(x)=n  on [0,1/n], 0 otherwise. g(x)=1 on [0,1], 0 otherwise. 那么LHS=n-1, RHS=(2logn)^(1/2), 当n趋于无穷发现左边比右边大，所以不成立。
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4楼2014-11-23 09:34:23
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403642

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

参考holider不等式，闵可夫斯基不等式以及Schwartz不等式可解
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5楼2014-12-01 10:40:23
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

★
shy1992331(feixiaolin代发): 金币+1 2014-12-03 16:32:39
引用回帖:
4楼: Originally posted by blackshoes at 2014-11-23 09:34:23
结论不对，左边积分应只是对|f(x)-g(x)|，然后这个结果就是经典的Pinsker's inequality，google即可。

对于如上左式的一个反例：取f(x)=n  on , 0 otherwise. g(x)=1 on , 0 otherwise. 那么LHS=n-1, RHS=(2logn ...

同意你第二个结论。但例子似乎无需那么复杂；就直接取 f=n,g=1,积分区间为[0,1] 好像 就有  LHS=(n-1)n >  sqrt(2 log(n) n)=RHS,  当n趋于无穷。

但是即便左边积分函数是|f(x)-g(x)|， 也有 LHS=n-1 >  sqrt(2 log(n) n)=RHS,  当n趋于无穷。

所以，此不等式怎么也不会成立。
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6楼2014-12-02 09:50:25
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blackshoes

木虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by pippi6 at 2014-12-01 13:50:25
同意你第二个结论。但例子似乎无需那么复杂；就直接取 f=n,g=1,积分区间为 好像 就有  LHS=(n-1)n >  sqrt(2 log(n) n)=RHS,  当n趋于无穷。

但是即便左边积分函数是|f(x)-g(x)|， 也有 LHS=n-1 >  sqrt( ...

密度函数积分为1，f(x)不能在整个[0，1]上都为n。
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7楼2014-12-03 12:27:32
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