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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 请教，若迭代矩阵的谱半径恰好等于1，那么迭代是收敛还是发散的？
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ansys2010

新虫 (著名写手)

[交流] 请教，若迭代矩阵的谱半径恰好等于1，那么迭代是收敛还是发散的？ 已有5人参与

请教，若迭代矩阵的谱半径恰好等于1，那么迭代是收敛还是发散的？
书上一般都是说小于1收敛，大于1发散，我正好遇到了精确等于1的情况.
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1楼 2014-11-15 11:53:56
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catbin

银虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
所谓收敛矩阵，定义为A^n->0。那么矩阵A收敛当且仅当A的谱半径严格小于1。很多线性系统递归算法的收敛性用到这一结论，比如Gauss-Seidel，SOR等等。

如果你想知道A^n是否收敛到某个矩阵,不一定为0，那么等价条件是矩阵A的谱半径小于等于1，绝对值等于一的特征值只能是1（不能是－1），并且该特征值是非退化的，即其几何重数等于代数重数。
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静水流深
3楼2014-11-15 12:25:19
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
假定你说的是线性问题。 首先，在数值环境下，不太可能精确等于1，总有舍入误差。 如果谱半径足够接近1，可能会发生震荡，既不收敛（在现实迭代次数内），也不发散。即便是解析上，也还有代数增长的可能性，如果特征值简并。
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2楼2014-11-15 12:04:28
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ansys2010

新虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by pippi6 at 2014-11-15 12:04:28
假定你说的是线性问题。 首先，在数值环境下，不太可能精确等于1，总有舍入误差。 如果谱半径足够接近1，可能会发生震荡，既不收敛（在现实迭代次数内），也不发散。即便是解析上，也还有代数增长的可能性，如果特征 ...

谢谢哦！ 但是数值上好像都在收敛
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4楼2014-11-15 12:39:34
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ansys2010

新虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by catbin at 2014-11-15 12:25:19
所谓收敛矩阵，定义为A^n->0。那么矩阵A收敛当且仅当A的谱半径严格小于1。很多线性系统递归算法的收敛性用到这一结论，比如Gauss-Seidel，SOR等等。

如果你想知道A^n是否收敛到某个矩阵,不一定为0，那么等价条 ...

啊啊啊，我没听明白，到底等于1怎么样呢？
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5楼2014-11-15 12:40:35
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