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我要飞

铁虫 (正式写手)

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[求助] 如何得到单调性？已有1人参与

此函数 $g_k=\frac{(-1)^{k}\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma\left(\frac{\alpha}{2}-k+1\right)\Gamma\left(\frac{\alpha}{2}+k+1\right)}$ 关于 $\alpha$ 的单调性如何证明？(k=0,1,2,...)

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1楼 2014-11-10 10:31:29

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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

对楼主的问题，我没法解决，不过可以帮楼主转换下形式，看是否有所帮助：

根据Beta函数跟Gamma函数的关系：Β(p,q)=Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)
那么g_k=((-1)^k Γ(α+1))/Β(α/2-k+1,α/2+k+1)Γ(α+2)
=((-1)^k Γ(α+1))/Β(α/2-k+1,α/2+k+1)(α+1)Γ(α+1)
=(-1)^k/Β(α/2-k+1,α/2+k+1)(α+1) .
讨论Β(α/2-k+1,α/2+k+1)(α+1)这个函数的单调性即可。

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PreferenceforMathematics

2楼2014-11-11 00:45:15

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我要飞

铁虫 (正式写手)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2014-11-11 00:45:15
对楼主的问题，我没法解决，不过可以帮楼主转换下形式，看是否有所帮助：

根据Beta函数跟Gamma函数的关系：Β(p,q)=Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)
那么g_k=((-1)^k Γ(α+1))/Β(α/2-k+1,α/2+k+1)Γ(α+2)
...

Β(α/2-k+1,α/2+k+1)(α+1)这个函数的单调性也不好处理呀

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3楼2014-11-11 07:18:49

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