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tclzxb

木虫 (小有名气)

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[求助] 一道极限题目

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots+\sqrt{n}}}}$

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1楼 2014-11-01 08:05:55

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by zjl20111015 at 2014-11-01 09:10:59
这个题目hank612大神已在考研版应助过http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=8094401&authorid=2530333，可以看看，就今天的

对这种无限嵌套根号(infinite nested radical)的表达式，在数学里算是非常冷门的。

zjl20111015给出了 $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\dots}}}$ 一个上界。我把他的解法转摘在这里：
利用 $\sqrt{n}\leq \frac{n}{2}$ 对任意 $n\geq 4$ 成立，那么
$\sqrt{1+\sqrt{2+\dots +\sqrt{n-1+\sqrt{n}}}}\leq \sqrt{1+\sqrt{2+\dots +\sqrt{n-1+\frac{n}{2}}}}\leq \sqrt{1+\sqrt{2+\dots +\frac{n-1}{2}+\frac{n}{2^2}}}$ 因此，
$\leq\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\frac{4}{2}+\frac{5}{2^2}+\dots+\frac{n}{2^{n-3}}}}}$

而级数Koebe function $\frac{z}{(1-z)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}nz^n$ 在 $z=\frac{1}{2}$ 取值为2，所以无穷嵌套根式有上界 $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+8(2-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{3}{8})}}}=1.7881186$ , 从而极限存在。 (极限=1.75793275...)

根据Ramanujan的解法，如果让 $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+1+\sqrt{x+2+\sqrt{x+3+\dots}}}}$ , 那么有函数方程
$f^2(x)=x+f(x+1)$ . 如果大家能解出这个方程，就可以算出该极限f(1)了。

顺便列两个例子：（1）Ramanujan 证明 g(x)=x+n+a满足 $g^2(x)=ax+(n+a)^2+xg(x+n)$ , 因此 $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots}}}}=3$

（2）设 $a_1=\sqrt{2}, a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ 请证明 $a_n=2\cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}$ 从而极限是2。