版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

>论坛更新日志 (6329)
>考研 (1631)
>导师招生 (1316)
>文献求助 (484)
>虫友互识 (284)
>考博 (274)
>硕博家园 (152)
>博后之家 (116)
>基金申请 (109)
>招聘信息布告栏 (90)
>论文投稿 (88)
>休闲灌水 (75)
>第一性原理 (65)
>教师之家 (64)
>公派出国 (43)
>外文书籍求助 (32)

返回列表

tclzxb

木虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 2603.6
散金: 287
帖子: 229
在线: 66小时
虫号: 749825
注册: 2009-04-16
专业: 概率论与随机分析

[求助] 一道极限题目

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots+\sqrt{n}}}}$

回复此楼

» 猜你喜欢

0854AI CV方向招收调剂已经有3人回复
求调剂323材料与化工已经有3人回复
生物学学硕求调剂已经有9人回复
289求调剂已经有8人回复
07化学280分求调剂已经有5人回复
300分，材料，求调剂，英一数二已经有4人回复
【考研调剂】化学专业 281分，一志愿四川大学，诚心求调剂已经有16人回复
0854电子信息求调剂已经有7人回复
0854人工智能方向招收调剂已经有3人回复
调剂已经有4人回复

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:

1楼 2014-11-01 08:05:55

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

zjl20111015

木虫 (著名写手)

应助: 206 (大学生)
金币: 1068.5
散金: 1210
红花: 31
帖子: 1101
在线: 1046.4小时
虫号: 1484706
注册: 2011-11-09
性别: GG
专业: 高分子合成化学

★ ★ ★ ★
tclzxb(feixiaolin代发): 金币+3 2014-11-01 14:53:12
feixiaolin: 金币+1 2014-11-01 14:53:46

这个题目hank612大神已在考研版应助过http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=8094401&authorid=2530333，可以看看，就今天的

[ 发自小木虫客户端 ]

赞一下(1人)

回复此楼

Believe in yourself.

2楼2014-11-01 09:10:59

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

tclzxb

木虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 2603.6
散金: 287
帖子: 229
在线: 66小时
虫号: 749825
注册: 2009-04-16
专业: 概率论与随机分析

引用回帖:

2楼: Originally posted by zjl20111015 at 2014-11-01 09:10:59
这个题目hank612大神已在考研版应助过，可以看看，就今天的

好的，看到了，谢谢！

回复此楼

3楼2014-11-01 13:23:22

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

引用回帖:

2楼: Originally posted by zjl20111015 at 2014-11-01 09:10:59
这个题目hank612大神已在考研版应助过http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=8094401&authorid=2530333，可以看看，就今天的

对这种无限嵌套根号(infinite nested radical)的表达式，在数学里算是非常冷门的。

zjl20111015给出了 $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\dots}}}$ 一个上界。我把他的解法转摘在这里：
利用 $\sqrt{n}\leq \frac{n}{2}$ 对任意 $n\geq 4$ 成立，那么
$\sqrt{1+\sqrt{2+\dots +\sqrt{n-1+\sqrt{n}}}}\leq \sqrt{1+\sqrt{2+\dots +\sqrt{n-1+\frac{n}{2}}}}\leq \sqrt{1+\sqrt{2+\dots +\frac{n-1}{2}+\frac{n}{2^2}}}$ 因此，
$\leq\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\frac{4}{2}+\frac{5}{2^2}+\dots+\frac{n}{2^{n-3}}}}}$

而级数Koebe function $\frac{z}{(1-z)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}nz^n$ 在 $z=\frac{1}{2}$ 取值为2，所以无穷嵌套根式有上界 $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+8(2-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{3}{8})}}}=1.7881186$ , 从而极限存在。 (极限=1.75793275...)

根据Ramanujan的解法，如果让 $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+1+\sqrt{x+2+\sqrt{x+3+\dots}}}}$ , 那么有函数方程
$f^2(x)=x+f(x+1)$ . 如果大家能解出这个方程，就可以算出该极限f(1)了。

顺便列两个例子：（1）Ramanujan 证明 g(x)=x+n+a满足 $g^2(x)=ax+(n+a)^2+xg(x+n)$ , 因此 $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\dots}}}}=3$

（2）设 $a_1=\sqrt{2}, a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ 请证明 $a_n=2\cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}$ 从而极限是2。

赞一下

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

4楼2014-11-03 01:43:40

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

相关版块跳转我要订阅楼主 tclzxb 的主题更新

返回列表

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[考研] 【考研调剂】化学专业 281分，一志愿四川大学，诚心求调剂 +15	吃吃吃才有意义 2026-03-19	16/800	2026-03-24 19:51 by 了了了了。。
[考研] 一志愿北化315 求调剂 +3	akrrain 2026-03-24	3/150	2026-03-24 19:35 by 了了了了。。
[考研] 085602 289分求调剂 +5	WWW西西弗斯 2026-03-24	5/250	2026-03-24 18:51 by jhhcooi
[考研] 08工学调剂 +10	用户573181 2026-03-20	15/750	2026-03-24 18:14 by dick_runner
[考研] 材料292调剂 +8	橘颂思美人 2026-03-23	8/400	2026-03-24 16:33 by laoshidan
[考研] 一志愿211 初试270分求调剂 +5	谷雨上岸 2026-03-23	6/300	2026-03-24 16:32 by laoshidan
[材料工程] 一志愿C9材料与化工专业总分300求调剂 +4	曼111 2026-03-24	5/250	2026-03-24 15:44 by 星空星月
[考研] 求调剂一志愿武汉理工大学材料工程（085601） +5	WW.' 2026-03-23	7/350	2026-03-24 14:50 by sprinining
[考研] 085404电子信息284分求调剂 +4	13659058978 2026-03-24	4/200	2026-03-24 12:15 by syl20081243
[考研] 081700 调剂 267分 +9	迷人的哈哈 2026-03-23	9/450	2026-03-24 11:58 by 544594351
[考研] 一志愿吉大化学322求调剂 +4	17501029541 2026-03-23	6/300	2026-03-24 10:21 by 戴围脖的小蚊子
[考研] 344求调剂 +3	desto 2026-03-24	3/150	2026-03-24 10:09 by 搏击518
[考研] 335求调剂 +4	yuyu宇 2026-03-23	5/250	2026-03-23 23:49 by Txy@872106
[考研] 291求调剂 +5	孅華 2026-03-22	5/250	2026-03-23 09:20 by haoshis
[考研] 一志愿西北大学，070300化学学硕，总分287，双非一本，求调剂。 +3	晨昏线与星海 2026-03-20	3/150	2026-03-22 16:00 by ColorlessPI
[考研] 275求调剂 +6	shansx 2026-03-22	8/400	2026-03-22 15:27 by barlinike
[考研] 初试 317 +7	半拉月丙 2026-03-20	7/350	2026-03-21 22:26 by peike
[考研] 材料与化工（0856）304求 B区调剂 +3	邱gl 2026-03-21	3/150	2026-03-21 13:47 by lature00
[考研] 材料学学硕080502 337求调剂-一志愿华中科技大学 +4	顺顺顺mr 2026-03-18	5/250	2026-03-21 10:22 by luoyongfeng
[考研] 330求调剂 +4	小材化本科 2026-03-18	4/200	2026-03-20 23:13 by JourneyLucky