版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

返回列表

当前只显示满足指定条件的回帖，点击这里查看本话题的所有回帖

孟晶晶345

金虫 (正式写手)

应助: 1 (幼儿园)
金币: 1624.3
散金: 500
红花: 2
帖子: 650
在线: 259.3小时
虫号: 1510894
注册: 2011-11-26
专业: 基础物理学

[求助] 数列求和

Σ1/n的4次方＝π的4次方/96 其中 n＝1，3，5…
这个数列的和是怎么计算的啊？我是学物理的，题目中碰到了这个，希望大家可以帮忙解决一下！因为是客户端发的，好像不能加图片，不知道我的表述是不是清楚？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

回复此楼

» 猜你喜欢

307中医考研调剂已经有6人回复
294求调剂已经有12人回复
0831生医工第一轮调剂失败求助已经有17人回复
291求调剂已经有11人回复
297，工科调剂?河南农业大学本科已经有14人回复
0854求调剂已经有20人回复
26药学专硕105500求调剂已经有7人回复
一志愿华中农业071010，320求调剂已经有15人回复
2026 WR青拔已经有7人回复
一志愿中科大材料与化工，353分还有调剂学校吗已经有9人回复

1楼 2014-10-30 20:46:51

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

孟晶晶345

金虫 (正式写手)

应助: 1 (幼儿园)
金币: 1624.3
散金: 500
红花: 2
帖子: 650
在线: 259.3小时
虫号: 1510894
注册: 2011-11-26
专业: 基础物理学

送红花一朵

引用回帖:

4楼: Originally posted by hank612 at 2014-10-31 08:20:30
对不起我没注意到你只求对奇数的四次方的求和.

\frac{\pi^4}{90}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^4}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}+\frac{1}{2^4}\cdot ...

谢谢谢谢！好厉害！

[ 发自小木虫客户端 ]

回复此楼

5楼2014-10-31 17:56:35

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

查看全部 8 个回答

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
孟晶晶345(feixiaolin代发): 金币+10 2014-10-31 07:44:52

http://www.math.hawaii.edu/~pavel/bernoulli.pdf

我照抄一遍, Euler 的证明简单,深刻, 令人想忘都难.

定义 $\zeta(2m)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2m}}=\frac{1}{1^{2m}}+\frac{1}{2^{2m}}+\frac{1}{3^{2m}}+\cdots$

定义 $\frac{t}{e^t-1}=\sum_{m=0}^{\infty} B_m\frac{t^m}{m!}$ Bernoulli 数.

由于 $\frac{t}{e^t-1}+\frac{t}{2}$ 是偶函数, 所以 $B_3=B_5=B_7=\cdots=0$ .

前几个非零的Bernoulli 数是: $B_0=1, B_1=-\frac{1}{2}, B_2=\frac{1}{6}, B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42}$

Euler告诉我们, $\cot(x)=\frac{1}{x}-2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^2\pi^2-x^2}$ .

这个是复变函数中的简单练习. 因为左边减去右边是个整函数, 在无穷远点 $z=\infty$ 收敛,由Picard定理知道这个差是个常数函数. 该常数函数在z=0处取值为零. 所以等式成立.

几何级数展开: $\frac{x}{n^2\pi^2-x^2}=\frac{x}{n^2\pi^2}\cdot \frac{1}{1-(x/n\pi)^2}=\frac{x}{n^2\pi^2} \cdot \sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{x}{n\pi}\right)^{2k}$

因此
$x\cot{x}=1-2\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^2}{n^2\pi^2}\cdot (\frac{x}{n\pi})^{2k}=1-2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k}}{\pi^{2k}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}=1-2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{\pi^{2k}}\zeta(2k)$ .

现在利用Euler 公式 $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$ 展开三角函数, 得到
$x\cot{x}=x\cdot \frac{(e^{ix}+e^{-ix})/2}{(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)}=ix\cdot \frac{e^{2ix}+1}{e^{2ix}-1}=ix+\frac{2ix}{e^{2ix}-1}=ix+\sum_{m=0}^{\infty}B_m\frac{(2ix)^m}{m!}$

比较 $x^{2m}$ 系数, 立得: $2\zeta(2m)=(-1)^{m+1}\frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!}B_{2m}$

楼主证明的等式就是上式中m=2时的特例. 当然, 分母应该是90, 而不是96.
$\zeta(4)=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2\pi)^4}{24}\cdot \frac{1}{30}=\frac{\pi^4}{90}$

赞一下

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

2楼2014-10-31 01:12:39

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

zaq123321

专家顾问 (著名写手)

专家经验: +343
数学EPI: 6
应助: 298 (大学生)
贵宾: 0.247
金币: 10786.8
散金: 220
红花: 29
帖子: 1223
在线: 539.9小时
虫号: 405284
注册: 2007-06-17
性别: MM
专业: 生物大分子结构与功能
管辖: 数学

Amazing.

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

回复此楼

小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。

3楼2014-10-31 02:46:36

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

对不起我没注意到你只求对奇数的四次方的求和.

$\frac{\pi^4}{90}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^4}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}+\frac{1}{2^4}\cdot \frac{\pi^4}{90}$ , 因此
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}=(1-\frac{1}{16})\frac{\pi^4}{90}=\frac{\pi^4}{96}$

楼主是百分之百的正确.

赞一下

回复此楼

» 本帖已获得的红花（最新10朵）

孟晶晶345

We_must_know. We_will_know.

4楼2014-10-31 08:20:30

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

查看全部 8 个回答

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[考研] 322求调剂 +8	123安康 2026-04-12	15/750	2026-04-16 11:07 by Espannnnnol
[考研] 327求调剂 +26	Xxjc1107. 2026-04-13	29/1450	2026-04-16 10:52 by Espannnnnol
[考研] 药学求调剂 +14	喽哈加油 2026-04-14	16/800	2026-04-16 10:15 by beilsong20
[考研] 279学硕食品专业求调剂院校 20+7	孤独的狼爱吃羊 2026-04-12	29/1450	2026-04-16 09:00 by screening
[考研] 085404 22408 309分求调剂 +9	lzmk 2026-04-14	10/500	2026-04-15 20:02 by 学员JpLReM
[考研] 085801电气专硕272求调剂 +19	电气李 2026-04-13	21/1050	2026-04-15 13:37 by 黑科技矿业
[考研] 考研调剂 +13	长弓傲 2026-04-13	14/700	2026-04-14 14:44 by zs92450
[考研] 105500药学求调剂 +4	x_skys 2026-04-12	4/200	2026-04-14 13:37 by rndfc
[考研] 293求调剂 +16	我爱高数高数爱� 2026-04-12	18/900	2026-04-13 21:47 by 学员JpLReM
[考研] 生物学调剂 +11	小冉要努力 2026-04-10	13/650	2026-04-13 11:46 by 电化学及催化
[考研] 2本，初试303，0860求调剂 +6	floriea 2026-04-12	8/400	2026-04-12 18:13 by zhouxiaoyu
[考研] 085410 273求调剂 +10	X1999 2026-04-09	10/500	2026-04-12 09:24 by 逆水乘风
[考研] 材料工程日语考生求调剂 +7	0856?调剂 2026-04-10	7/350	2026-04-11 21:33 by 蓝云思雨
[考研] 343求调剂 +9	王国帅 2026-04-10	9/450	2026-04-11 20:31 by dongdian1
[考研] 311求调剂 +13	xyp想读书 2026-04-10	14/700	2026-04-11 09:41 by 猪会飞
[考研] 337求调剂 +4	研s. 2026-04-10	4/200	2026-04-11 08:57 by zhq0425
[考研] 材料与化工调剂 +12	否极泰来2026 2026-04-10	13/650	2026-04-11 00:28 by wangjihu
[考研] 263能源动力专硕求调剂 +4	加大号饭盒袋 2026-04-10	4/200	2026-04-10 20:52 by gong120082
[考研] 一志愿京区985，085401，与本科专业一致，电子信息工程， +4	阳光开朗的男孩 2026-04-10	4/200	2026-04-10 18:27 by shenrf
[考研] 一志愿京区985，085401电子信息，本科电子信息 +3	阳光开朗的男孩 2026-04-10	3/150	2026-04-10 16:29 by sophia_93