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孟晶晶345

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[求助] 数列求和

Σ1/n的4次方＝π的4次方/96 其中 n＝1，3，5…
这个数列的和是怎么计算的啊？我是学物理的，题目中碰到了这个，希望大家可以帮忙解决一下！因为是客户端发的，好像不能加图片，不知道我的表述是不是清楚？

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1楼 2014-10-30 20:46:51

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zaq123321

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Amazing.

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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。

3楼2014-10-31 02:46:36

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hank612

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孟晶晶345(feixiaolin代发): 金币+10 2014-10-31 07:44:52

http://www.math.hawaii.edu/~pavel/bernoulli.pdf

我照抄一遍, Euler 的证明简单,深刻, 令人想忘都难.

定义 $\zeta(2m)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2m}}=\frac{1}{1^{2m}}+\frac{1}{2^{2m}}+\frac{1}{3^{2m}}+\cdots$

定义 $\frac{t}{e^t-1}=\sum_{m=0}^{\infty} B_m\frac{t^m}{m!}$ Bernoulli 数.

由于 $\frac{t}{e^t-1}+\frac{t}{2}$ 是偶函数, 所以 $B_3=B_5=B_7=\cdots=0$ .

前几个非零的Bernoulli 数是: $B_0=1, B_1=-\frac{1}{2}, B_2=\frac{1}{6}, B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42}$

Euler告诉我们, $\cot(x)=\frac{1}{x}-2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^2\pi^2-x^2}$ .

这个是复变函数中的简单练习. 因为左边减去右边是个整函数, 在无穷远点 $z=\infty$ 收敛,由Picard定理知道这个差是个常数函数. 该常数函数在z=0处取值为零. 所以等式成立.

几何级数展开: $\frac{x}{n^2\pi^2-x^2}=\frac{x}{n^2\pi^2}\cdot \frac{1}{1-(x/n\pi)^2}=\frac{x}{n^2\pi^2} \cdot \sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{x}{n\pi}\right)^{2k}$

因此
$x\cot{x}=1-2\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^2}{n^2\pi^2}\cdot (\frac{x}{n\pi})^{2k}=1-2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k}}{\pi^{2k}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}=1-2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{\pi^{2k}}\zeta(2k)$ .

现在利用Euler 公式 $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$ 展开三角函数, 得到
$x\cot{x}=x\cdot \frac{(e^{ix}+e^{-ix})/2}{(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)}=ix\cdot \frac{e^{2ix}+1}{e^{2ix}-1}=ix+\frac{2ix}{e^{2ix}-1}=ix+\sum_{m=0}^{\infty}B_m\frac{(2ix)^m}{m!}$

比较 $x^{2m}$ 系数, 立得: $2\zeta(2m)=(-1)^{m+1}\frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!}B_{2m}$

楼主证明的等式就是上式中m=2时的特例. 当然, 分母应该是90, 而不是96.
$\zeta(4)=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2\pi)^4}{24}\cdot \frac{1}{30}=\frac{\pi^4}{90}$

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We_must_know. We_will_know.

2楼2014-10-31 01:12:39

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hank612

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对不起我没注意到你只求对奇数的四次方的求和.

$\frac{\pi^4}{90}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^4}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}+\frac{1}{2^4}\cdot \frac{\pi^4}{90}$ , 因此
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}=(1-\frac{1}{16})\frac{\pi^4}{90}=\frac{\pi^4}{96}$

楼主是百分之百的正确.

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孟晶晶345

We_must_know. We_will_know.

4楼2014-10-31 08:20:30

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引用回帖:

4楼: Originally posted by hank612 at 2014-10-31 08:20:30
对不起我没注意到你只求对奇数的四次方的求和.

\frac{\pi^4}{90}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^4}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}+\frac{1}{2^4}\cdot ...

谢谢谢谢！好厉害！

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5楼2014-10-31 17:56:35

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