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napoleon_999

木虫 (小有名气)

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[求助] 数论的一个小问题已有1人参与

证明1/(2k+1)+1/(2k+3)+......1/(2k+2m+1)不是整数，k和m均为正整数。感觉很难入手啊。

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1楼2014-10-22 11:40:07

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wm223

银虫 (初入文坛)

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简单问题搞复杂了，不就是要证明有限个奇数之倒数和不能是整数吗？不用任何符号的证明如下。

先从最大的那个奇数开始，问它是不是素数？若是，立马就结了。为啥，因为在它之前的所有奇数都比它小，不可能含有这个素因子，把这些奇数都乘起来的那个大数也不会，等式俩边同乘这个大数，一边是整数，另一边不是（因为最大的那个奇素数不服），矛盾。

若最大的那个奇数不是素数，再问下一个，在问到这个队列的一半之前必能问出一个素数来（因为在任何一个数和它的两倍数之间必有一个素数），而这个素数不可能出现在比它大的那些奇数中（此处说明省略），用先前的方法即可推出矛盾。

看来关键在于说明为啥“任何一个数和它的两倍数之间必有一个素数”？若不知道这个定理的人，要好好拜读一下大师 Erdős的传世之作，大师是第一个用初等语言说明这个定理的。在此慬向大师的在天之灵脱帽致敬！

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7楼2016-11-13 13:34:23

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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
napoleon_999: 金币+10, ★有帮助 2014-10-23 18:29:48
napoleon_999: 金币+10 2015-03-09 17:02:52

设

$S(k,m)=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+3}+\cdots+\frac{1}{2k+2m+1}$

将 $2k+1,2k+3,\cdots,2k+2m+1$ 均分解成标准分解式:

$a(k,i)=2k+2i-1=\prod\limits_{j=1}^rp_j^{s_j^i}(i=1,2,\cdots,m+1)$

这里 $p_1<p_2<\cdots<p_r$ 均是奇素数。且

$s_j^i\geq 0(j=1,2,\cdots,r;i=1,2,\cdots,m+1)\quad\text{and} max{s_1^i,s_2^i,\cdots,s_r^i}\geq 1(i=1,2,\cdots,m+1)$

令 $t_j\stackrel{max}{1\leq i\leq m+1}\{s_j^i\}\geq 1(j=1,2,\cdots,r)$
再令 $t=\stackrel{max}{1\leq j\leq r}t_j\geq 1$ ，取到t值所对应的 $t_j$ 所对应的奇素数为 $p_j$
则在a(k,i)中有且仅有一个 $i_0$ 使得 $a(k,i_0)$ 中 $p_j$ 的幂次为t
现在令 $c=p_1^{t_1}p_2^{t_2}\cdots p_{j-1}^{t_{j-1}}p_j^{t-1}p_{j+1}^{t_{j+1}}\cdots p_r^{t_r}$
则cS(k,m)中只有

$\frac{c}{a(k.i_0)}=\frac{w}{p_j}$

这一项不为整数，其余项都是整数，所以cS(k,m)不是整数，注意到c是整数，从而S(k,m)不是整数。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2014-10-23 09:07:01

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napoleon_999

木虫 (小有名气)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-23 09:07:01
设
S(k,m)=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+3}+\cdots+\frac{1}{2k+2m+1}
将2k+1,2k+3,\cdots,2k+2m+1均分解成标准分解式:
a(k,i)=2k+2i-1=\prod\limits_{j=1}^rp_j^{s_j^i}(i=1,2,\cdots,m+1)
这里p_1<p_2<\ ...

可是怎么保证只有一个i0能使Pj的幂次达到t呢，我觉得这似乎不能保证。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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3楼2014-10-23 11:22:44

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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专业: 理论和计算化学

引用回帖:

3楼: Originally posted by napoleon_999 at 2014-10-23 11:22:44
可是怎么保证只有一个i0能使Pj的幂次达到t呢，我觉得这似乎不能保证。
...

Use some big theorem to get there.
http://www.emis.de/journals/AMI/2007/ami2007-belbachir.pdf

Nagell's theorem, Kurschak's theorem, and Belbachir-Khelladi theorem based on the result of Shorey-Tijdeman.

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We_must_know. We_will_know.

4楼2014-10-23 11:28:29

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