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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » the existence of a common primitive root
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375291258

铁杆木虫 (著名写手)

[求助] the existence of a common primitive root 已有1人参与

If p and q are distinct primes, then the existence of a common primitive root of p and q.
这个结论如何证明。
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1楼 2014-10-13 06:07:18
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
375291258: 金币+5, ★★★很有帮助 2014-10-13 20:58:59
命题 设p和q是不同的素数，则存在模p和q的一个公共原根。
证明：
情形一：
由于q为素数，模2q有原根，设g是模2q的一个原根（不妨设g是奇数）
则g也是q的一个原根，g也是2的一个原根
所以g是2和q的一个公共原根。
情形二：，p和q是不同的奇素数。
不妨设，则有
由于p为素数，故模p有原根g（不妨设g是奇数）
则是模p的既约剩余系
因为q为素数，所以与q互素
根据带余数除法，可以设，这里是整数
由于p-1个取q个值，，由鸽子笼原理知道必有两个相等，不妨设，
则，
从而易知是模q的一个原根，
又由g的构造知道是模p的一个原根，
所以是模p和模q的一个公共原根。
综合上面两种情况即知命题为真。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2014-10-13 10:14:14
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
设a是p的原根，b是q的原根，那么
x= a*q^2+b*p^2
满足
因此x是公共原根。
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We_must_know. We_will_know.
3楼2014-10-13 11:02:33
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375291258

铁杆木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-13 10:14:14
命题 设p和q是不同的素数，则存在模p和q的一个公共原根。
证明：
情形一：p=2,q>2
由于q为素数，模2q有原根，设g是模2q的一个原根（不妨设g是奇数）
则g也是q的一个原根，g也是2的一个原根
所以g是2和q的一 ...

g^(j-i)=1(mod q)
从而易知是g^(j-i)模q的一个原根，这个不理解，请教一下！谢谢！
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4楼2014-10-13 21:28:10
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
4楼: Originally posted by 375291258 at 2014-10-13 21:28:10
g^(j-i)=1(mod q)
从而易知是g^(j-i)模q的一个原根，这个不理解，请教一下！谢谢！...

根据原根的定义直接验证。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
5楼2014-10-14 05:44:39
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375291258

铁杆木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-14 05:44:39
根据原根的定义直接验证。...

按你的说法，我能不能这样想 g是p原根，则g=1(mod p), 从而
g^2=1(mod p),...,g^(p-2)=1(mod p), 这样是不是与g,g^2,),...,g^(p-2)是模p的既约剩余系矛盾。
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6楼2014-10-15 20:55:09
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
6楼: Originally posted by 375291258 at 2014-10-15 20:55:09
按你的说法，我能不能这样想 g是p原根，则g=1(mod p), 从而
g^2=1(mod p),...,g^(p-2)=1(mod p), 这样是不是与g,g^2,),...,g^(p-2)是模p的既约剩余系矛盾。...

证法二：
因为p是素数，p有原根a
因为q是素数，q有原根b
则与a模p同余的数都是模p的原根
与b模q同余的数都是模q的原根
由于p，q是互不相同的素数
由中国剩余定理知道，存在整数x，使得：


则x是模p和模q的公共原根。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
7楼2014-10-16 03:55:53
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