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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于正交矩阵的问题
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gulubaozi

银虫 (小有名气)

[求助] 关于正交矩阵的问题已有4人参与

我不懂矩阵论，但是对下面的问题很有兴趣，希望能得到满意的解答。问题如下：
现有一任意的正交矩阵A，问是否存在列向量b满足下列条件：
b'=A*b，且向量b'与b相互平行。
请给出您的看法和说明。
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1楼2014-10-05 09:19:28
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
gulubaozi: 金币+1 2014-10-05 16:16:22
如果矩阵阶是奇数， 那一定会有特征向量的。

如果矩阵阶是偶数时，答案是不一定。比如，二阶的旋转矩阵，只要不是恒同或旋转180度，其他的旋转阵明显没有特征向量。
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We_must_know. We_will_know.
4楼2014-10-05 10:45:23
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lixuemei201

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
gulubaozi: 金币+1 2014-10-05 16:16:08
肯定有，由于有（A-kE）b=0的缘故，正交阵必有大于0的特征值。。。。。还有空看看我的帖子，我的问题还还没人帮我解决

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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2楼2014-10-05 10:26:43
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
看错了，不是正定阵，正交阵，反正还是必定存在非零特征值

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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3楼2014-10-05 10:33:20
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Scorates

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
gulubaozi: 金币+1 2014-10-05 16:16:27
这个问题答案应该是否定的
A is an orthogonal matrix <=> A^{-1}=A
b^{\prime} is parallel with b <=> b^{\prime}= \alpha b where \alpha \neq  0
b^{\prime}=Ab gives Ab=\alpha b
可以看出b是A的对应于特征值为 \alpha 的特征向量
而orthogonal matrix的特征值为-1或1，因此\alpha=-1 or 1. 所以求得的b^{\prime}=b或-b，应该不能看作是平行与b的
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5楼2014-10-05 15:05:34
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