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luzongxing

银虫 (小有名气)

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[求助] 矩阵指数和对数的求解步骤数学表达式

已知一个矩阵A是3*3的满秩矩阵。如何求A的指数和对数的数学表达式。
相当于是手算如何一步步求解。
感激不尽。
不要说是matlab的expm（A）和logm（A）。想要解法的数学求解过程表达式。

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1楼 2014-09-18 16:33:45

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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

feixiaolin: 屏蔽内容, 楼下已修正了部分乱码 2014-09-18 22:08:06

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2楼2014-09-18 17:47:30

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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

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步骤1. 把 $A$ 化为 Jordan 标准型。
$AP=PJ$
其中 $P$ 为某一可逆矩阵， $J$ 为 Jordan 形矩阵，即若干个 Jordan 块组成的准对角矩阵。

步骤2. 计算 $J$ 的指数或对数。不失一般性，设 $J$ 是一个单一的 Jordan 块（如果J由多个Jordan块组成，则逐个计算这些块的指数或对数），那么有

$J=\lambda I + N$

其中
$I = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$
$N = \begin{bmatrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}$

于是
$\exp (J) = e^{\lambda} e^N = e^{\lambda} (I+N+\frac{N^2}{2!})$
$\log (J) = (\log \lambda) I + \log (I + \frac{N}{\lambda})=(\log \lambda) I + \frac{N}{\lambda} -\frac{N^2}{2 \lambda^2}$

步骤3. 还原为原来矩阵 $A$

$\exp(A)=P\exp(J) P^{-1}$
$\log(A) = P \log(J) P^{-1}$

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3楼2014-09-18 17:50:34

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