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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 数列通项公式的问题
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aaron7

铁虫 (初入文坛)

[求助] 数列通项公式的问题 已有2人参与

求数列通项公式的问题：
第n项等于前六项的均值：
x(n)={x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)+x(n-4)x(n-5)+x(n-6)}/6
并且满足如下条件：
x(0)=1,x(-1)=x(-2)=...x(-6)=0

请问如何用z变换怎么求出通项公式？或者其他方法也可以
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1楼 2014-09-17 19:24:53
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
x(n)<-------------->X(z)
x(n-1)<-------------->z^(-1)*X(z)-z(0)
x(n-m)<-------------->z^(-m)*X(z)-……
整理，做逆向 z 变换，即可。

参见 附图
数列通项公式的问题
zt.PNG
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2楼2014-09-17 19:34:41
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
问题要修正：数列满足：



这里n=0时初值就不满足递推关系。
所以要修改初始值。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2014-09-17 23:47:18
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aaron7

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-09-17 23:47:18
问题要修正：数列\{x_n\}满足：
x_n=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3}+x_{n-4}+x_{n-5}+x_{n-6}}{6}
x_0=1,x_{-1}=x_{-2}=x_{-3}=x_{-4}=x_{-5}=x_{-6}=0
这里n=0时初值就不满足递推关系。
所以要修改初始值。...

对，您说的很正确！在这个题里面还要加上n>=1这个条件！
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4楼2014-09-18 00:05:56
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aaron7

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-09-17 19:34:41
x(n)<-------------->X(z)
x(n-1)<-------------->z^(-1)*X(z)-z(0)
x(n-m)<-------------->z^(-m)*X(z)-……
整理，做逆向 z 变换，即可。

参见 附图

zt.PNG
...

非常感谢您的回复！这步骤我想到了，但是如何逆变换回去呢？
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5楼2014-09-18 00:07:04
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
可以试试利用特征方程法求解：由递推关系可以得到如下的特征方程：


解此一元六次方程得其根为，于是得到递推关系的通解为：


其中为未知的待定系数。
然后利用初值解出待定系数即可求出该数列的通项公式。
不过求特征根可能比较麻烦，毕竟一元五次以上的方程没有公式解，需要很强的技巧。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
6楼2014-09-18 00:21:56
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
5楼: Originally posted by aaron7 at 2014-09-18 00:07:04
非常感谢您的回复！这步骤我想到了，但是如何逆变换回去呢？...

http://wenku.baidu.com/view/554fe01bc281e53a5802ff20.html
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7楼2014-09-18 07:23:26
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aaron7

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
7楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-09-18 07:23:26
http://wenku.baidu.com/view/554fe01bc281e53a5802ff20.html...

非常感谢你的链接！但是按照您图片里的方法，将x(n)={x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)+x(n-4)+x(n-5)+x(n-6)}/6两侧进行z变换的话，会把f(z)在两侧消掉（因为f(-1)...f(-6)都是0）。。。
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8楼2014-09-18 10:46:07
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
8楼: Originally posted by aaron7 at 2014-09-18 10:46:07
非常感谢你的链接！但是按照您图片里的方法，将x(n)={x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)+x(n-4)+x(n-5)+x(n-6)}/6两侧进行z变换的话，会把f(z)在两侧消掉（因为f(-1)...f(-6)都是0）。。。...

1=0?
检查下初始条件。
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9楼2014-09-18 13:49:19
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