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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 泛函分析（w.Rudin）
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雪析2014

铁虫 (初入文坛)

[求助] 泛函分析（w.Rudin） 已有2人参与

拓扑向量空间中的分离性：假设K和C是拓扑向量空间X的子集，K是紧的，C是闭的并且K与C不相交，则有0领域V使得K+V与C+V交集是空集。问题：若改为K+V的闭包则定理还成立，怎么证？（提示有因为C+V是开集）
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静以修身，俭以养?浴�
1楼 2014-09-17 19:04:12
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nagami

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

对于拓扑空间，A，B是其不相交的开集，则A的闭包与B不相交。
反证：存在点x同时属于A的闭包和B，显然B为x的开领域，按照A的闭包的定义，A与B必然相交，矛盾。
结论与TVS结构没什么必然联系。就C+V是开集，从TVS的拓扑构造直接看出来
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女靠衣装；男靠金装
3楼2014-09-19 16:17:17
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nagami

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
对于拓扑空间，A，B是其不相交的开集，则A的闭包与B不相交。
反证：存在点x同时属于A的闭包和B，显然B为x的开领域，按照A的闭包的定义，A与B必然相交，矛盾。
结论与TVS结构没什么必然联系。就C+V是开集，从TVS的拓扑构造直接看出来
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女靠衣装；男靠金装
2楼2014-09-19 16:17:06
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

楼上回答正确，这里再给出更为详细的证明过程：

命题：A,B是拓扑空间X的开子集，且A∩B=空集，则A的闭包与B的交是空集。
证明：反设A的闭包与B有非空交，可设x∈A的闭包∩B。
         ∵A的闭包=A∪A'，(A'为A的导集)，A∩B=空集，∴x∈A'∩B。
         而x∈B，B是开集，从而也是x的一个开邻域；
         且x∈A'，根据A'的定义，取B这个邻域，(A-{x})∩B非空。
         则A∩B非空，与题设矛盾，故假设不真，原命题成立。#
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PreferenceforMathematics
4楼2015-04-04 12:11:13
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雪析2014

铁虫 (初入文坛)
★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金币+5 2015-04-05 00:06:37
引用回帖:
4楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-04-04 12:11:13
楼上回答正确，这里再给出更为详细的证明过程：

命题：A,B是拓扑空间X的开子集，且A∩B=空集，则A的闭包与B的交是空集。
证明：反设A的闭包与B有非空交，可设x∈A的闭包∩B。
         ∵A的闭包=A∪A'，(A'为 ...

谢谢你～

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静以修身，俭以养?浴�
5楼2015-04-04 16:09:55
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