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racoon01专家顾问 (著名写手)
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量子力学中的动量算符竟是如此复杂已有10人参与
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| 一个貌似简单的微商算符p=-ih\partial_x, 竟然涉及力学量算符只能是自伴算符这样的基本原理。看了几篇文章，大意是：自伴算符必定是厄米算符，但反之不一定。自伴算符与厄米算符本质的区别是前者的本征函数系构成Hilbert空间中的一组完备基，但后者的本征函数系有可能根本不存在，或者虽然存在但不完备。很多名人在这个问题上犯了错，既包括Pauli，也包括Landau. 自然，国内的几位量子力学高手也不会缺席这个犯错哦，如曾老师、张老师等（关洪老爷子例外）。 |
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racoon01
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谢谢回复。显然，你摘录的英文是Ballentine书上第14、15页的部分内容。后面的中文是曾教授书上的对应定义。 应该指出的是，无论是Ballentine的（1.21）式还是曾书摘录的最后一式，都是厄米算符的定义。自伴算符按定义当然也具有这个性质，但除此之外其本征矢量集合须构成希尔伯特空间的一组完备基。曾书假设厄米算符的本征函数集合具有这个性质，其实不然。自伴算符是一类特殊的厄米算符，特殊性就体现在它的全体本征矢量构成了Hilbert空间的一组完备基这个性质上。 不是每个厄米算符都是自伴算符。君既然读了Ballentine的书，为何不多读几页？ 例如第19、20两页对ih\partial_x的讨论。这个算符能否解释为动量算符是有条件的。只有在波函数满足周期性边界的前提下，它才是自伴算符，这时可解释为动量。若波函数仅仅满足平方可积条件，iih\partial_x的自伴性要求粒子可以在整个x轴上运动。若粒子被限制在x轴上的某个有限区间中运动，而波函数在区间的端点处趋于零（束缚态条件），此时ih\partial_x是厄米算符不假，但因其没有满足边界条件的本征函数，它不是自伴算符，从而也就不再能解释为动量。 显然，曾老师书上并没有说道这个要点。 |
18楼2014-07-24 20:12:14
2楼2014-07-22 20:24:44
racoon01
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3楼2014-07-22 21:44:48
opanane
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并非所有的厄米算符都是物理上所需要的。物理需要的算符需要仔细的挑选。算符的厄米性只是一个一个必要条件，而非充分条件。要求为自伴算符也只是一个更强的要求，即一个更强的必要条件。实际上如果一个厄米算符的本征态不存在或者不完备，那么物理上根本不会选择该算符。名人们大概也只是强调了可观测量对应的算符为厄米的，这样的说法没有任何问题。反而，我觉得关老爷子“引经据典”的批评倒是令人诧异了。 关老爷子说“厄米算符本征值的实性，只是一种能够带来方便的副产品”，我想，关老爷子对物理的理解似乎有些错位了。物理找数学搭伴主要是为了寻求一个方便简洁的表示方式罢了。任何人随时可以放弃光速不变原理，找个光速随时间线性增加的原理，把原来的规律重新等价的写一遍也可以，但我相信大家还是觉得原来的更有“物理”。我们也可以随时在动量算符之后加个函数f(r)，一点也不会改变对易原理，只是原来的波函数，算符统统改复杂了而已。物理学家更希望得到的是一个“方便简洁的副产品”，更需求的是一个好的数学框架，而非对的数学框架。 物理学家更关心的是物理，而非是数学。诸如为什么可观测量算符是希尔伯特空间中的线性厄米算符，为什么不选择其他空间等这样的问题，对物理学家而言，既没有意义，也没有实际的物理意义！数学家的工作，也许可以在诸多物理学家的漏洞中瞧出新物理的端倪，但是以此般漏洞来诘问物理学未免有吹毛求疵的嫌疑！ |
4楼2014-07-23 01:50:12