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thematicsroy新虫 (小有名气)
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请教一个看似简单的代数问题。
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| 设P为矩阵算子，若对任意矩阵A，B，有P(AB)=P(A)P(B).试证明P=(det)^k (k可以是任意非负整数) |
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hank612
至尊木虫 (著名写手)
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(1) 必须假设P不是零算子，就是说存在矩阵A 使得 P(A)不等于零。 由P(A*I)=P(A)*P(I) 及P(A)非零知道 P(I)=1. 那么对于任意可逆矩阵M， 由P(M*M^{-1})=1知道 P(M^{-1})=P(M)^{-1}不等于零。 (2) A=diag(a, a^{-1}, 1,...,1)， B=diag(a^{-1}, a, 1, .., 1). 则A，B相似知道P(A)=P(B). 由P(AB)=1 知道 P(A)=P(B)=1. 不用担心P(A)=-1, 因为 A=(diag(sqrt(a), 1/sqrt(a), 1,...,1))^2. (3) 由此可知，若A=diag(c1,..,cn), B=diag(c1*c2*...*cn, 1,..,1),他们可以用一串(2)中类型的对角阵转换，所以P(A)=P(B). (4)必须假定P是连续函数，否则有反例。 由于Cauchy问题：设f: R-->R 满足 f(x+y)=f(x)+f(y), 并且 f连续，那么f(x)=c*x 是线性函数。 因此存在 k 使得 P(diag(c1,..,cn))=(c1*c2*...*cn)^k. http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's_functional_equation http://math.stackexchange.com/qu ... at-fx-xt-for-some-t (5) 假设域是代数闭域，这样Jordan标准型总是存在。 (6)由于 P(AB)=P(BA)可知 P(M^{-1}*A*M)=P(A), 由此可以假设 A是若当标准型。并且在相差一个对角矩阵的情况下，可以设对角线上全为1(因为(A-a)^n=0 当且仅当 ((A/a)-1)^n=0 ) (7)假设A是若当标准型，对角线上全为1， 那么 A^2和A 相似(因为(A^2-1)^n=0 当且仅当 (A-1)^n=0 ), 因此 P(A)=1. (8) 总结：任给一个矩阵A, P(A)等于P在A的Jordan标准型上的作用。 把A的Jordan标准型分解成两个矩阵乘积，其中一个是对角阵，对角元素是A的特征值；另一个相似于一些对角线为1的若当阵的直和， 因此由(4)可知 P(A)=det(A)^k. 从证明过程中可以看出，k可以是任意实数。 P连续的条件不能少，但不要求域是代数闭域C，至少要求是在实数域R上。 |
2楼2014-07-21 11:54:15