| 查看: 385 | 回复: 1 | |||
thematicsroy新虫 (小有名气)
|
[求助]
请教一个看似简单的代数问题。
|
| 设P为矩阵算子，若对任意矩阵A，B，有P(AB)=P(A)P(B).试证明P=(det)^k (k可以是任意非负整数) |
回复此楼» 猜你喜欢
售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O54,科目全,可伽急
已经有5人回复
-
售SCI一区文章，我:8O5.5.1.O5.4,科目全,可伽急
已经有4人回复
-
售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O54,科目全,可伽急
已经有4人回复
-
售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.5.4,科目全,可+急
已经有7人回复
-
售一区SCI文章T0P，我:8O.551.O54,科目全,可十急
已经有5人回复
-
售SCI一区文章，我:8O5.5.1.O5.4,科目全,可伽急
已经有7人回复
-
售SCI一区T0P文章，我:8O.55.1.O.5.4,科目齐全,可+急
已经有6人回复
-
售SCI一区T0P文章，我:8.O55.1.O.54,科目全,可十急
已经有9人回复
-
售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.5.4,科目全,可+急
已经有9人回复
-
售SCI一区T0P文章，我:8O.55.1.O.54,科目全,可伽急
已经有11人回复
» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
- 有做SPS的吗，请教一个很简单的问题
已经有12人回复
- 请教一个论文发表的问题
已经有5人回复
- 请教一个电化学腐蚀的问题
已经有15人回复
- 求助一初中数学题
已经有6人回复
- 请教一个C++读文件的问题，
已经有12人回复
- 请教一个关于香农公式的问题！急求！
已经有4人回复
- 简单矩阵计算问题。
已经有8人回复
- 请教一个问题：形成共沸溶剂的用处有哪些？
已经有4人回复
- 急求几个代数拓扑题~
已经有16人回复
- 请教线性代数的2个重要问题！！！！！！！！
已经有21人回复
- 请教一个介电常数的问题。
已经有17人回复
- 一个基本的线性代数问题 请大家帮帮忙
已经有11人回复
- 请教一个简单的概率问题
已经有18人回复
- 【求助】请教一个SEM样品制备问题
已经有13人回复
- 【求助】请教一个关于解方程的问题
已经有8人回复
- 【请教】请教一个六方晶系的问题
已经有12人回复
- 【请教】请教一个关于图片精度的问题
已经有6人回复
- 【求助】请教一个m062x的问题
已经有7人回复
- 【求助/交流】请教一个农杆菌转导的问题
已经有4人回复
hank612
至尊木虫 (著名写手)
- 数学EPI: 14
- 应助: 225 (大学生)
- 金币: 14270.6
- 散金: 1055
- 红花: 95
- 帖子: 1526
- 在线: 1375.8小时
- 虫号: 2530333
- 注册: 2013-07-03
- 性别: GG
- 专业: 理论和计算化学
|
(1) 必须假设P不是零算子，就是说存在矩阵A 使得 P(A)不等于零。 由P(A*I)=P(A)*P(I) 及P(A)非零知道 P(I)=1. 那么对于任意可逆矩阵M， 由P(M*M^{-1})=1知道 P(M^{-1})=P(M)^{-1}不等于零。 (2) A=diag(a, a^{-1}, 1,...,1)， B=diag(a^{-1}, a, 1, .., 1). 则A，B相似知道P(A)=P(B). 由P(AB)=1 知道 P(A)=P(B)=1. 不用担心P(A)=-1, 因为 A=(diag(sqrt(a), 1/sqrt(a), 1,...,1))^2. (3) 由此可知，若A=diag(c1,..,cn), B=diag(c1*c2*...*cn, 1,..,1),他们可以用一串(2)中类型的对角阵转换，所以P(A)=P(B). (4)必须假定P是连续函数，否则有反例。 由于Cauchy问题：设f: R-->R 满足 f(x+y)=f(x)+f(y), 并且 f连续，那么f(x)=c*x 是线性函数。 因此存在 k 使得 P(diag(c1,..,cn))=(c1*c2*...*cn)^k. http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's_functional_equation http://math.stackexchange.com/qu ... at-fx-xt-for-some-t (5) 假设域是代数闭域，这样Jordan标准型总是存在。 (6)由于 P(AB)=P(BA)可知 P(M^{-1}*A*M)=P(A), 由此可以假设 A是若当标准型。并且在相差一个对角矩阵的情况下，可以设对角线上全为1(因为(A-a)^n=0 当且仅当 ((A/a)-1)^n=0 ) (7)假设A是若当标准型，对角线上全为1， 那么 A^2和A 相似(因为(A^2-1)^n=0 当且仅当 (A-1)^n=0 ), 因此 P(A)=1. (8) 总结：任给一个矩阵A, P(A)等于P在A的Jordan标准型上的作用。 把A的Jordan标准型分解成两个矩阵乘积，其中一个是对角阵，对角元素是A的特征值；另一个相似于一些对角线为1的若当阵的直和， 因此由(4)可知 P(A)=det(A)^k. 从证明过程中可以看出，k可以是任意实数。 P连续的条件不能少，但不要求域是代数闭域C，至少要求是在实数域R上。 |
2楼2014-07-21 11:54:15
40