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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 如何证明两数列对应元素相乘后得到的新数列存在某个元素不在原数列相应元素范围内
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zacaduo

铁虫 (著名写手)

[求助] 如何证明两数列对应元素相乘后得到的新数列存在某个元素不在原数列相应元素范围内 已有1人参与

两个数列（每个数列中各元素均为正数或零，且和为1）对应元素相乘后得到的新数列必然存在某个元素不在原数列相应元素范围之内？

用数学符号表达如下：
A= [a1, a2 , …… , an], B= [b1, b2 , …… , bn]
a1, a2 , …… , an >= 0
b1, b2 , …… , bn >= 0
a1+a2+…… +an =1
b1+b2+ ……+bn =1

c1=a1*b1, c2=a2*b2, …… , cn=an*bn
X=c1 + c2 + …… + cn
w1=c1/X, w2=c2/X, …… , wn=cn/X
C= [w1, w2, …… ,  wn]


如何证明存在wj (1=<j<=n)，使得wj不在 区间[aj, bj] (当aj <= bj时) 或 区间[bj, aj] (当aj >= bj时) 内？？

多谢！！！
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1楼 2014-06-12 08:05:35
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zacaduo: 金币+20, ★★★很有帮助, 多谢 2014-06-13 11:07:18
引用回帖:
3楼: Originally posted by zacaduo at 2014-06-12 21:45:26
举个例子：A= , B=
可以求得C=
这里，c1=0.5882不在区间之内，c3= 0.1765不在区间之内
我想证明这种情况的存在性，而不是证明这种情况必然存在，不知该如何证明？...

楼主, 其实你举的例子非常的恰当,
因为容易看出, 如果
(1) 0<a1 <= a2 <=... <=an   (2) 0< b1 <=b2 <=.. <=bn  (3)  a1+..+an=b1+...+bn =1,  并且(4) ai,bi 不全相等.
那么一定存在 wj=aj*bj/C,  C=a1*b1+...+an*bn 使得 (wj-aj)(wj-bj) >0, 就是说 wj 界于 aj, bj 之外.

证明:      http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_sum_inequality
由Chebyshev  sum inequality,  有 C/n >= 1/n * 1/n,  即  C>=1/n. 但ai,bi 不全相等, 所以 C > 1/n.

如果每一个wj 都使得 (wj-aj)(wj-bj) <=0,  即  wj^2 -(aj+bj)*wj +aj*bj <=0,  两边同乘以C^2,
then  (aj*bj)^2 - C*(aj+bj)*(aj*bj) +C^2*(aj*bj) <=0.
由于 aj*bj >0 (假设条件之一), 所以  aj*bj - (aj+bj)*C +C^2 <=0.
对j从1 到n求和, 立得C - 2*C + n*C^2 <=0,  从而  C <= 1/ n.  这和Chebyshev不等式矛盾.
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We_must_know. We_will_know.
4楼2014-06-13 07:25:29
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
0<aj<1, 0<bj<1
wj不在 区间内。
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2楼2014-06-12 09:49:44
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zacaduo

铁虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-06-12 09:49:44
0<aj<1, 0<bj<1
wj不在 区间内。

举个例子：A= [0.5 0.2 0.3], B=[0.4 0.4 0.2]
可以求得C=[0.5882    0.2353    0.1765]
这里，c1=0.5882不在区间[b1, a1]之内，c3= 0.1765不在区间[b3, a3]之内
我想证明这种情况的存在性，而不是证明这种情况必然存在，不知该如何证明？
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3楼2014-06-12 21:45:26
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zacaduo

铁虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2014-06-13 07:25:29
楼主, 其实你举的例子非常的恰当,
因为容易看出, 如果
(1) 0<a1 <= a2 <=... <=an   (2) 0< b1 <=b2 <=.. <=bn  (3)  a1+..+an=b1+...+bn =1,  并且(4) ai,bi 不全相等.
那么 ...

补了一下Chebyshev的知识，看懂了，多谢！
可是在一般情况下，a1, a2 , …… , an和 b1, b2 , …… , bn并不是按从小到大排列的，这种情况怎么办？
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5楼2014-06-13 11:07:06
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