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zacaduo铁虫 (著名写手)
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如何证明两数列对应元素相乘后得到的新数列存在某个元素不在原数列相应元素范围内 已有1人参与
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两个数列（每个数列中各元素均为正数或零，且和为1）对应元素相乘后得到的新数列必然存在某个元素不在原数列相应元素范围之内？ 用数学符号表达如下： A= [a1, a2 , …… , an], B= [b1, b2 , …… , bn] a1, a2 , …… , an >= 0 b1, b2 , …… , bn >= 0 a1+a2+…… +an =1 b1+b2+ ……+bn =1 c1=a1*b1, c2=a2*b2, …… , cn=an*bn X=c1 + c2 + …… + cn w1=c1/X, w2=c2/X, …… , wn=cn/X C= [w1, w2, …… , wn] 如何证明存在wj (1=<j<=n)，使得wj不在 区间[aj, bj] (当aj <= bj时) 或 区间[bj, aj] (当aj >= bj时) 内？？ 多谢！！！ |
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【答案】应助回帖
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zacaduo: 金币+20, ★★★很有帮助, 多谢 2014-06-13 11:07:18
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楼主, 其实你举的例子非常的恰当  , 因为容易看出, 如果 (1) 0<a1 <= a2 <=... <=an (2) 0< b1 <=b2 <=.. <=bn (3) a1+..+an=b1+...+bn =1, 并且(4) ai,bi 不全相等. 那么一定存在 wj=aj*bj/C, C=a1*b1+...+an*bn 使得 (wj-aj)(wj-bj) >0, 就是说 wj 界于 aj, bj 之外.  证明: http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_sum_inequality 由Chebyshev sum inequality, 有 C/n >= 1/n * 1/n, 即 C>=1/n. 但ai,bi 不全相等, 所以 C > 1/n. 如果每一个wj 都使得 (wj-aj)(wj-bj) <=0, 即 wj^2 -(aj+bj)*wj +aj*bj <=0, 两边同乘以C^2, then (aj*bj)^2 - C*(aj+bj)*(aj*bj) +C^2*(aj*bj) <=0. 由于 aj*bj >0 (假设条件之一), 所以 aj*bj - (aj+bj)*C +C^2 <=0. 对j从1 到n求和, 立得C - 2*C + n*C^2 <=0, 从而 C <= 1/ n. 这和Chebyshev不等式矛盾. |
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