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ifelseend

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[求助] 波矢空间和真实空间的库仑定律.(傅里叶变化问题) 已有1人参与

我遇到了这样的问题:

背景:
$U(\textbf{k},t)=\frac{1}{\epsilon_0 k^2}\rho(\textbf{k},t)$    (1)
$U(\textbf{r},t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int d^3r'\frac{\rho(\textbf{r}',t)}{|\textbf{r}-\textbf{r}'|}$    (2)
这里U(r,t)是电势, 而U(k,t)是U(r,t)的傅里叶变化, 也就是波矢空间中的电势, 这两个方程是等价的.

与其类似的, 关于电场的对应关系有:
$E(\textbf{k},t)=-\frac{i\textbf{k}}{\epsilon_0 k^2}\rho(\textbf{k},t)$    (3)
$E(\textbf{r},t)=\frac{-1}{4\pi\epsilon_0} \int d^3 r'\rho(\textbf{r}',t)\nabla_{\textbf{r}}\frac{1}{|\textbf{r}-\textbf{r}'|}$    (4)

以上的两组中, 只需要弄明白一组就可以, 所以我在思考, 如何从(1)得到(2), 以下是我的做法:

$U(\textbf{r},t)=(2\pi)^{-\frac{3}{2}}\int d^3k \frac{1}{\epsilon_0 k^2}\rho(\textbf{k},t) \exp(i \textbf{k}\cdot \textbf{r})$    (5)
$U(\textbf{r},t)=(2\pi)^{-3}\int d^3k \frac{1}{\epsilon_0 k^2}\exp(i \textbf{k}\cdot \textbf{r})\int d^3r'\rho(\textbf{r}',t)\exp(-i \textbf{k}\cdot \textbf{r}')$    (6)
$U(\textbf{r},t)=(2\pi)^{-3}\int d^3r'\rho(\textbf{r}',t)\int d^3k \frac{1}{\epsilon_0 k^2}\exp[i \textbf{k}\cdot (\textbf{r}-\textbf{r}')]$    (7)

然后我就不会了, 需要帮助, 我是不是在以上的做法中出现了错误, 还是有什么关系我不知道. 是需要分部积分吗? 请指点.

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1楼 2014-05-15 22:06:29

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对第7式对k和r-r'都用球坐标，就可以直接积分出来

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2楼2014-05-16 08:55:34

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有没有什么详细的做法, 介绍给我参考一下.

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3楼2014-05-16 14:38:49

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

指数部分按照傅里叶级数展开

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4楼2014-05-18 06:46:02

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引用回帖:

3楼: Originally posted by ifelseend at 2014-05-16 14:38:49
有没有什么详细的做法, 介绍给我参考一下.

做法就是2楼这位朋友说的，在极坐标系积分，极轴沿 $\mathbf r - \mathbf r'$ 方向。
$\int \mathrm d{\mathbf k} e^{i\mathbf k \cdot (\mathbf r - \mathbf r')}=2\pi\int_0^{ \infty }{\mathrm d} k \int_0^{\pi}\mathrm d \theta \sin\theta e^{ik(r-r')\cos \theta}$
下面的计算应该挺容易了

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5楼2014-05-18 08:58:07

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