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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请问这个偏微分方程组有一般的解法么？
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xiaojun2010

金虫 (正式写手)

[求助] 请问这个偏微分方程组有一般的解法么？

k1,k2,c1,c2都是正数。各位高手给个思路啊，书到用时方恨少，多谢多谢！

请问这个偏微分方程组有一般的解法么？
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1楼 2014-05-02 11:10:19
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+2, 五一节 2014-05-02 22:18:33
xiaojun2010: 金币+10, ★★★很有帮助 2014-05-05 09:25:07
这应该属于一维动态传热传质的偏微分方程组吧。和常温分方程的求解不同，偏微分方程的求解一般需要同时配属u、v各自的一个初始条件和两个边值条件，之后才可用分离变量法或拉普拉斯变换的方法得到求解。若未给定初始与边界条件，一般是不易求解不出来的。
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5楼2014-05-02 21:29:48
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金币+2, 五一节 2014-05-02 22:18:42
xiaojun2010: 金币+10, ★★★很有帮助 2014-05-05 09:26:11
当添加了适当的初始与边界条件后，由于系数全部均为常数，尤其可反复两次重叠利用拉普拉斯变换的方法获得解析解。
比如给定这样的初始与边界条件：
u(x,t=0)=φ(x);u(x=0,t)=α(t);Pu/Px(x=0)=β(t)
v(x,t=0)=ψ(x);v(x=0,t)=γ(t);Pv/Px(x=0)=λ(t)
便可反复两次利用拉氏变换，将常系数线性偏微分方程组变换为二元一次代数方程组，求解出相应的解后，重复进行拉氏反变换便可得到指定定解问题的解析解u=u(x,t)和v=v(x,t)。
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6楼2014-05-02 21:57:35
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
9楼: Originally posted by xiaojun2010 at 2014-05-03 17:12:34
多谢各位大神的回复，根据peterflyer的提示，引入一个初始条件，经过Laplace变换之后得到一个二阶方程组如下，s是拉普拉斯参数，U,V为原函数u,v经过变换之后，其他均为常数。看起来有解的希望了，应该怎么办呢？

u ...

楼主，首先，这里s应该看作常数，因此等号左边的应写为常微分而不是偏微分的形式；其次，还要再分别给出u、v的各两个边值条件，并将它们同步也进行拉氏变换，作为求解楼主得出的上面的方程组的条件。然后对楼主的方程组再次对x求拉氏变换，得到U(x,s)和V(x,s)对x的拉氏变换M(p,s)、N(p,s)。这样上面方程组就成了纯代数方程了。解出M、N后，先对M、N求关于p的拉氏逆变换，得到U、V；再求U、V关于s的拉氏逆变换就得到u、v。
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xiaojun2010
10楼2014-05-03 18:55:38
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
11楼: Originally posted by xiaojun2010 at 2014-05-05 09:24:08
多谢指导纠正。现在有四个边界条件: 对于t>0，u(x=0)=0；Pv/Px(x=0)=0；u(x=+infinite)=α；v(x=+infinite)=β。进行第一次拉氏变换之后，得到U(x=0)=0；dV/dx(x=0)=0；U(x=+infinite)=α/s；V(x=+infinite)=β ...

第二次拉式变换中需要用到U(x=0,s)、PU/Px(x=0)、V(x=0,s)、PV/Px(x=0),但第二个和第三个未给出，而给出的U(x=+infinite)=α/s和V(x=+infinite)=β/s暂时用不上。可以先将它们作为未知常数搁置起来，等到将第二次拉式变换求出后，再对其进行反变换，然后将上面两个暂时未用上的条件应用上，定出PU/Px(x=0)、V(x=0,s)；然后再次反变换，定出u和v。你的边界条件如果像我前面提到的形式的话，求解就会简单些。
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12楼2014-05-05 10:41:15
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
11楼: Originally posted by xiaojun2010 at 2014-05-05 09:24:08
多谢指导纠正。现在有四个边界条件: 对于t>0，u(x=0)=0；Pv/Px(x=0)=0；u(x=+infinite)=α；v(x=+infinite)=β。进行第一次拉氏变换之后，得到U(x=0)=0；dV/dx(x=0)=0；U(x=+infinite)=α/s；V(x=+infinite)=β ...

注意：第一次变换是对t，得到U(x,s)、V(x,s)；第二次是对x，得到M(p,s)和N(p,s)。因此逆变换时，先对p进行，由M、N得到U、V,最后再对U、V变换求得u、v。
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13楼2014-05-05 10:46:22
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